高考数学专题3　正、余弦定理在解三角形中的应用.docx

微专题3　正、余弦定理在解三角形中的应用　　　正、余弦定理“刻划”了三角形的边长和角度的数量关系，从而使三角形兼具“数”与“形”两方面的性质，所以成为高中数学的主干知识．高考对正、余弦定理的考查主要有求边角的大小、判断三角形形状、寻找三角形中的有关数量关系等，其主要方法有化角法、化边法、面积法等，在解题中要注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.例题：(2018·南通、泰州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝b.(1)求sinB的值；(2)求cos的值．变式1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．变式2已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC＝，D是线段BC上的点，cos∠ADC＝.(1)若b＝5，a＝7，求c的大小；(2)若b＝7，BD＝10，求△ABC的面积．串讲1在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________________．串讲2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．(2018·常州期末)已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，bsinC＝ccosB＋c.(1)求角B；(2)若b2＝ac，求＋的值．答案：(1)B＝；(2).解析：(1)由正弦定理得＝，又∵bsinC＝ccosB＋C，∴sinBsinC＝cosBsinC＋sinC，3分△ABC中，sinC＞0，所以sinB－cosB＝1，4分所以sin＝，－＜B－＜，B－＝，所以B＝；6分(2)因为b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，8分＋＝＋＝＝＝＝.12分所以＋＝＝＝＝.14分微专题3例题答案：(1)；(2)－.解析：(1)在△ABC中，根据余弦定理及a2＝b2＋c2－bc得cosA＝＝.又因为A∈(0，π)，所以A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝得sinB＝sinA＝×＝.(2)因为a＝b＞b，所以A＞B，即得0＜B＜.又sinB＝，所以cosB＝＝，在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos＝cos＝－cos＝－＝－－＝－.变式联想变式1答案：(1)－；(2)－.解析：(1)由正弦定理得＝，又因为由asinA＝4bsinB，可得a＝2b，又因为ac＝(a2－b2－c2)，即b2＋c2－a2＝－ac，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝－.(2)因为00，则sinA＝＝，即＝，由(1)可知＋＝＝1，可得＝＝，所以tanB＝4.新题答案：(1)；(2).解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos.∴asinB＝acos，即sinB＝cos＝cosBcos＋sinBsin＝cosB＋sinB，∴tanB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.(2)在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos，得sinA＝，∵a＜c，∴cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝，∴sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.。