高等代数北大编 第1章习习题参考答案.doc

第一章 多项式 一 、习题及参考解答1． 用除，求商与余式：1）；2）解 1）由带余除法，可得；2）同理可得2．适合什么条件时，有1），2）解 1）由假设，所得余式为0，即，所以当时有2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得综上所诉，当 或时，皆有3．求除的商与余式：1）；2）解 1）；2）4．把表示成的方幂和，即表成的形式：1）；2）；3）解 1）由综合除法，可得；2）由综合除法，可得；3） 由综合除法，可得5．求与的最大公因式：1）；2）；3）解 1）；2）；3）6．求使1）；2）；3）解 1）因为再由，解得，于是2）仿上面方法，可得，且3）由可得７．设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值解 因为，，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式为0，即，从而可解得 或 ８．证明：如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式证 易见是与的公因式另设是与的任一公因式，下证由于是与的一个组合，这就是说存在多项式与，使，从而由可得，得证９．证明：，的首系数为１）证 因为存在多项式使，所以，上式说明是与的一个组合另一方面，由知，同理可得，从而是与的一个最大公因式，又因为的首项系数为１，所以。

１０．如果不全为零，证明：证 存在使，又因为不全为０，所以，由消去律可得，所以11．证明：如果不全为零，且，那么证 由上题证明类似可得结论12．证明：如果，那么证 由假设，存在及使 （1） （2）将（1）（2）两式相乘，得，所以13．设都是多项式，而且 证 由于，反复应用第12题结论，可得，同理可证，从而可得14．证明：如果，那么证 由题设知，所以存在使，从而，即，所以再由12题结论，即证15．求下列多项式的公共根解 由辗转相除法，可求得，所以它们的公共根为16．判别下列多项式有无重因式：1） ；2） ；解 1），所以有的三重因式2），，所以无重因式17．求值，使有重根解 易知有三重根时，若令，比较两端系数，得 由（1），（3）得，解得的三个根为，将的三个根分别代入（1），得再将它们代入（2），得的三个根当时有3重根；当时，有2重根18．求多项式有重根的条件解 令，则，显然当时，只有当才有三重根下设，且为的重根，那么也为与的根，即由（1）可得，再由（2）有所以，两边平方得，所以综上所叙即知，当时，多项式有重根19．如果 ，求。

解 令，由题设知，1是的根，也是的根，此即，解得20．证明：不能有重根证 因为的导函数，所以，于是，从而无重根21．如果是的一个k重根，证明是的一个k+3重根证 因为，由于是的重根，故是的重根代入验算知是的根现在设是的重根，则是的重根，也是的s-2重根22．证明：是的重根的充分必要条件是 ，而证 必要性：设是的重根,从而是的重根，是的重根，，是的一重根，并且不是的根充分性：由，而，知是的一重根又由于，知是的二重根，依此类推，可知是的重根23．举例说明段语“ 是的 重根，那么是的重根”是不对的解 例如，设，那么以0为重根，但0不是的根24．证明：如果，那么证 要证明，就是要证明（这是因为我们可以把看作为一个变量）由题设由，所以，也就是，得证25．证明：如果，那么证 因为的两个根为和，其中，所以和也是的根，且，于是，解之得26．求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解解 在复数范围内，其中，在实数域内，所以，当为奇数时，有其中，皆为实数当是偶数时，有27．求下列多项式的有理根：1） ；2） ；3） 解 利用剩余除法试根，可得1） 有一个有理根22） 有两个有理根（即有2重有理根）。

3） 有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根）28．下列多项式在有理数域上是否可约1）；2） ；3）；4） 为奇素数；5）为整数解 1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约2）利用艾森斯坦判别法，取，则此多项式在有理数域上不可约3）首先证明：命题 设有多项式，令或，得或则与或者同时可约，或者同时不可约事实上，若可约，即，从而，这就是说也可约，反之亦然现在我们用它来证明在有理数域上不可约令，则多项式变为利用艾森斯坦判别法，取，即证上式不可约，因而也不可约4） 设，令，则 由于是素数，因而，但，所以由艾森斯坦判别法，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约5） 已知，令，可得利用艾森斯坦判别法，取，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式：1）；2）；3）；4）；5)；6)解 1）对称多项式的首项为，其方幂为，即，又因为，所以 原式=2）同理可得３） 原式=，由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为，所以的方幂之积为 指数组对应的方幂乘积 4 2 0 4 1 1 3 3 0 3 2 1 2 2 2 原式= (1)只要令,则原式左边。

另一方面，有，代入（1）式，得再令，得令，得 （2）令得 （3）由（2），（3）解得因此原式4）原式= 指数组对应的方幂乘积 2 2 0 0 2 1 1 0 1 1 1 1 设原式令得因此原式1） 原式= ，由于，，所以原式2） 原式，其中，，，所以 原式30．用初等对称多项式表出下列n元对称多项式：1）；2）；3）；4）；（表示所有由经过对换得到的项的和解 1）因为多项式的首项为，所以 指数组对应的方幂乘积 4000…0 3100…0 2200…0 2110…0 1111..0 设原式，令得。

得所以原式2）同理可得原式3）原式4） 原式31．设是方程的三个根，计算解 因为，由根和系数的关系，可得，再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得32．证明：三次方程的三个根成等差数列的充分必要条件为证 设原方程的三个根为，则它们成等差数列的充分必要条件为将上式左端表为初等对称多项式，得，故三根成等差数列的充分必要条件为二 、补充题及参考解答1． 设，且，证明：证 设,则由已知，得其次，设是与的任一公因式，只需证明即可因为,所以又因为,从而故也是与的最大公因式2． 证明：只要的次数都大于零，就可以适当选择适合等式的与，使证 存在多项式，，使,从而 （1）1） 若的次数满足,则事实上，采用反证法若,则（1）式左边的第一项次数小于,而第二项的次数大于或等于,这样（1）式左端的次数，但（1）式右端的次数为零，矛盾所以,此时，即为所求2)若,则用除，可得,其中,注意到是不可能的，事实上，若，则,代入（1）式得,矛盾再将代入（1）式，可得,令,再利用本题1）的证明结果，即证3． 证明：如果与互素，那么与也互素证 由假设，存在和使,于是，即证。

4． 证明：如果的最大公因式存在，那么的最大公因式也存在，且当全不为零时有,再利用上式证明，存在使.证 因为的最大公因式存在，设其为，则,于是与的最大公因式也存在，不妨设为,则 ,若设是的任一公因式，则,这样为与的一个公因式，又可得，即证.下面用归纳法证明本题第二部分当时结论显然成立，假设命题对也成立，即存在，使,成立再证命题对也成立事实上，存在和，使，令 ，，即证5． 多项式称为多项式的一个最小公因式，如果1）；2）的任一公倍式都是的倍式我们以表示首项系数是1的那个最小公倍式，证明：如果的首项系数都是1，那么证 令，则，，于是即 ， ，设是与的任一公倍式，下面证明由倍式的定义，有，即，消去得，于是由于，因而或者，所以， 6． 证明：设是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式，由，可以推出或者，那么是不可约多项式证 采用反证法设可约，则有，那么由假设可得或，这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于的次数于是得证7． 证明：次数且首项系数为1的多项式是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式必有，或者对某一正整数证 必要性：设（其中是不可约多项式），则对任意多项式，有1）；或2）。

对于1）有对于2）有，此即再让，即必要性得证充分性：设不是某一个多项式的方幂，则，其中是正整数若，则由题设知与满足或（为某一正整数）但这是不可能的，即证8． 证明：次数且首项系数为1的多项式是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对任意的多项式，由，可以推出，或者对某一正整数证 必要性：设，则对多项式，有1），于是；2）为某一正整数）必要性成立充分性：对任意多项式，有或，若，那么，但再由充分性假设，可得为某一正整数于是由第7题的充分条件，即证9． 证明：不能有不为零的重数大于2的根证 设，则，又因为的非零根都是多项式的根，而的个根都是单根，因而没有不为零且重数大于2的根10． 证明：如果，那么的根只能是零或单位根证 设是的任一个根，由知，也是的根，。