电动力学课件2015-第二章-1.ppt

关于第一章的进一步说明关于电磁理论基础的不断学习关于场的动量和狭义相对论的起源洛伦兹力电磁动量电磁动量密度对于平面电磁波对于光子角动量密度光子的自旋和轨道角动量根据动量守恒推导光压、激光冷却涡旋光束与光的角动量电荷在直流电路中的分布问题：为什么在电源两边分布着正负电荷WhyisMaxwellsTheorysohardtounderstand?professorofphysicsattheInstituteforAdvancedStudyinPrincetonFREEMANDYSON第二章第二章 静电场静电场2-1 2-1 静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程2-2 2-2 唯一性定理唯一性定理2-3 2-3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变量法分离变量法2-4 2-4 镜像法镜像法2-5 2-5 格林函数格林函数2-6 2-6 电多极矩电多极矩在给定的电荷和介质条件下通过标势求解静电场讲方法同时讲例题用例题加深理解2-1 2-1 静电场的标势静电场的标势及其微分方程及其微分方程1 1静电场的标势静电场的标势2 2标势的微分方程和边值关系标势的微分方程和边值关系3 3静电场能量的标势表示静电场能量的标势表示给出本章需要求解的标势标势方程静电场基本规律本节的出发点1 1静电场的标势静电场的标势静电场是无旋场静电场是无旋场无旋场必可表为标量场的梯度无旋场必可表为标量场的梯度E指向指向 “减少减少”最快的方向最快的方向标势的来历和定义电势的物理意义积分与路径积分与路径C C无关无关, ,由此可以引进由此可以引进只与只与起始位置起始位置决定的决定的静电势静电势 选取无穷远为电势为零的参考点单位电荷在某个单位电荷在某个位置的电势能位置的电势能注意负号单位电荷从无穷远处移到P点外界所作的功电势的差具有物理意义分布电荷的标势根据叠加原理可以用等位面形象地表述电势的分布,点电荷的等位面是同心球面E垂直于等位面,指向电势下降最快的方向。

r,0，C=02 2、静电势的微分方程、静电势的微分方程在均匀各向同性的介质中在均匀各向同性的介质中得这这是是静静电电势势满满足足的的基基本本微微分分方方程程, ,称称为为泊泊松方程松方程给出边界条件边界条件即可解静电势即可解静电势 边值关系边值关系由E和D的边值关系，静电势在两介质两介质分界面分界面上所满足的边值关系：边值关系：静电势在导体表面在导体表面上所满足的边值关系为：n从12,导体介质是介质内是介质内En为平均值,有限值推导导体内部E=0,=0,导体内部是等势体,表面是等势面是导体外的介质电容率；为导体表面的电荷面密度静电问题的介质分类处理静电问题时,需要分介质和导体两种类型介质中的自由分布电荷不变,但束缚电荷是介质与电场相互作用的结果导体中的电荷会自动重新分配,直到导体内部电场强度处处为零导体的静电条件1、导体内电场为零2、导体内不带净电荷(如果有电荷必然有电场),电荷只能分布在导体表面3、导体表面上电场必沿法线方向,导体表面为等势面,整个导体为等势体3 3、静电场能量、静电场能量 对于静电场,总能量静电场总能量(积分只遍及有电荷分布的区域V)（ 是静电场的能量密度吗？）若全空间充满均匀介质，则在静电场的总能量总能量由电荷分布决定。

由推导r-1,Dr-2,Sr2例一求均匀电场求均匀电场E E0 0的电势的电势（如无穷大平板电容器之间的电场）（如无穷大平板电容器之间的电场）解解：由注意:不能由0为坐标原点的电势,x为P点的位矢等位面？例二求电偶极子激发的电场取-q所在处为坐标原点,y轴沿电矩p的方向(p=ql),r+,r-和r分别为+q,-q和电偶极子中心到观察点P的矢径rl时是p与r-间夹角记住！一个极性原子的电场曾经作过一个作业,比较一下参考谢处方著电磁场与电磁波p.41例三 求带电荷量为求带电荷量为Q Q、半径为半径为a a的导体球的静电场总能量的导体球的静电场总能量解解：方法一：方法二：导体球是等势体，求得相同相同结结果果 但积分区域不同！计算均匀带电球体的静电能,球半径a,电量Q,球外真空p.7a0?电子的经典半径电子半径为re,静电能数量级为根据质能关系取We=W关于静电能的说明将各带电体qi从无穷远处移到现有位置所作的功W互将各带电体从无穷分散状态汇聚成qi所作的功W自两点电荷之间的相互作用能自能呢？多个点电荷的相互作用能计算维正负离子相间的链状晶体的结合能.离子间距离为a,带电为q,第i个粒子受到的静电相互作用能为晶体是放在介电常数为的介质中,当离子数N时a=0.3nm,q=e,则这种结合能为3.3eV。

由上式也可看出,介电常数越大,W越小,所以许多晶体都可以溶解于水中(水的r大约为81)氯化钠离子晶体静电能Na+和Cl-分别带e电荷,将离子看作点电荷,相邻正、负离子之间的最近距离为a,每种离子的总数为N先计算单个离子与它所有远近邻离子之间的相互作用能，然后乘以离子总数并除以2立方体中心的正离子，与其它离子之间的相互作用能可以证明这级数是收敛的,数值计算的结果为单个负离子与所有其它离子的相互作用能也等于上式,所以晶体的总相互作用能是实际测量值约小10%,误差的来源主要是把离子看成了点电荷和未计及量子交换效应思考1、晶体可以溶于水的物理图像2、电磁场理论可以用于微观问题3、如果晶体不是立方晶体这样的高对称呢4、如果外加一个电场呢？几个微观物理常数1、eV=1.610-19J2、k=1.3810-23J/K3、h=6.62610-34Js研究作业如果要外加一个电场使某面心立方离子晶体变成各向异性,能估计一下这个电场的量级吗？如果晶体尺寸为1cm,电压的量级是多大？设正负离子间隔0.3nm1、e=1.610-19C2、0=8.8510-12F/m习题1.14问题1、轴对称,且电荷只分布在导体面介质中例四,半径R电介质球,电容率,极化强度求束缚电荷、自由电荷、电势2.1题1指介质,2为真空1.9题结论2-2 2-2 唯一性定理唯一性定理1 1静电问题的唯一性定理静电问题的唯一性定理2 2有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理给出静电问题求唯一解的条件一个矢量场被唯一确定的条件问题：已知哪些条件,就可以完全决定一个矢量场设有一区域V,其边界面为闭合面S,若已知矢量在V中每一点的散度、旋度及矢量在S面上的法线分量、f为已知函数则可以证明,由条件可以完全决定矢量,1 1静电问题的唯一性定理静电问题的唯一性定理定理一定理一: :设已知设已知V V内自由电荷内自由电荷分布分布, ,在在V V的边界的边界S S上给定上给定(1)(1)电势电势 或或(2)(2)电势的法线方向偏导数电势的法线方向偏导数则则V V内的电势内的电势由泊松方程和边值关系由泊松方程和边值关系唯一确定唯一确定。

与矢量场唯一性问题的关系n由j指向i给定给定2 2有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理定定理理二二:己己知知区区域域V内内的的电电荷荷分分布布、区区域域V的的边边界界面面上上的的或或 值值及及每每个个导导体体上上的的总总电电荷荷Q Qi i或或导导体体的的电电势势 i i,则则区区域域V内内的的电电势势分分布布有有泊泊松松方方程程及及介介质分界面上的边值关系唯一地确定质分界面上的边值关系唯一地确定与定理一的关系？导体的静电条件1、导体内电场为零2、导体内不带净电荷(如果有电荷必然有电场),电荷只能分布在导体表面3、导体表面上电场必沿法线方向,导体表面为等势面,整个导体为等势体证明定理1设有两组不同的解设有两组不同的解和和,都满足定理都满足定理1 1条件条件则每个均匀区Vi内两均匀区界面上区域V的边界S上或第i个均匀区Vi的界面Si积分=0=0和和最多只相差一个常数最多只相差一个常数对电场无影响对电场无影响定理条件不可缺少唯一性定理有什么作用唯一性定理有什么作用? ?在在解决实际问题时，可以根据已解决实际问题时，可以根据已知条件知条件提出提出（有根据地猜）（有根据地猜）尝试尝试解解，只要它符合唯一性定理的要，只要它符合唯一性定理的要求，它就是正确的解。

求，它就是正确的解静电屏蔽目的：消除外界的静电干扰方法：接地导体壳包住屏蔽部分原理：壳内区域的解与壳外无关静电场在稳定电流情况下的作用稳定电流情况下,电荷分布不变,因此在稳定电流下,电场和电荷的作用仍为静电作用,电场仍由电荷分布决定为了维持稳定电流,需要外电动力(电动势)的作用,需要电源或电池例例1均匀介质半径R0球心点电荷qf,电容率边界条件分区条件例例2 2 两同心导体球壳之间充以两种介质两同心导体球壳之间充以两种介质, ,左半部左半部电容率为电容率为 1 1, ,右半部电容率为右半部电容率为 2 2, ,设内球壳带总电设内球壳带总电荷荷Q Q, ,外球壳接地外球壳接地, ,求电场和球壳上的电荷分布求电场和球壳上的电荷分布Q 1 12 2 2 2条件条件：两介质分界面处的边值关系E1t=E2t，D2n=D1n条件条件：两导体球壳都是等势面外壳的势为零分析分析：E处处垂直于球面否则电荷沿球面运动猜测猜测：E保持沿径向E1=E1t=E2t=E2E1E2已知电荷已知条件够！真的吗？设由唯一性定理，找满足边值关系的尝试解，假设E是沿径向的左半部右半部左半部右半部内导体球面上的自由电荷面密度为两半球电荷分布不同两半球电荷分布不同，但是，但是E E却保持球对称性却保持球对称性， 为什么？为什么？ 在内导体球壳上的自由电荷面密度与介质层内表面的束缚电荷面密度（带撇）分别为对应的密度之代数和是球对称的：束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场是球对称的束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场是球对称的所有自由电荷总和为零所有自由电荷总和为零所有束缚电荷总和为零所有束缚电荷总和为零无无论论对对大大导导体体球球壳壳和和小小导导体体球球壳壳, ,交交界界处处, ,相相应应的的自自由由和和束束缚缚电电荷荷面面密度之和是球对称的。

密度之和是球对称的E总总垂垂直直于于导导体体表表面面,这这是是一一个个基基本本的的原原则则,很很多多时时候候可可以以非非常常有有帮帮助助也是本题的最初出发点通过求因为在分界面上,左=右,试试下面的形式r=R2,1=2=0:r=R1的球面1、一个点电荷q1=q位于P1(-a,0,0),另一个点电荷q2=-2q位于P2(a,0,0),求空间的零点位面以(-5a/3,0,0)为球心,以4a/3为半径的球面2、电场中有一个半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为求圆柱内、外的电场强度；这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之1)由，可得a时，a时，(2)圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布，3、已知y0的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位解？(1)(2)(3)(4)解在电荷密度为0的空间,电位函数满足拉普拉斯方程(1)此函数不是y0空间的电位解2)此函数是y0空间的可能电位解4、一个半径为R0的介质球,介电常数为,其内均匀分布自由电荷,试证明该介质球中心点的电位为解根据高斯定律，得rR0中心点的电位为5、无限大导体平板分别置于x=0和x=d处，板间充满电荷,体电荷密度为,极板的电位分别为0和U0,求两极板间的电位和电场强度。

解两极板间的电位满足泊松方程在x=0处，=0，故B=0在x=d处，=U0，故库仑定律的实验检验-同心球实验根据库仑平方反比定律,必有高斯定理,带电的导体平衡时电荷一定分布在导体的外表面上同心球实验,即两个用导线相连的同心导体球壳,当它带电时,精确地检测其内球壳所带的电荷半径为R1和R2的两个同心金属球壳,内外球壳分别带有电荷Q1和Q2如果两个单位正点电荷之间的相互作用力是这两个点电荷之间距离s的函数F(s)，则相应的静电势球壳面上的电荷分布是球对称的,内球壳电荷面密度为,其面元上的电荷在P点产生的电势内球壳电荷Q1在P产生的电势同理外球壳的电荷Q2在P点产生的电势两球壳的电荷在P点的总电势内外球壳的电势分别为上式中未知量Q。