高一数学必修一辅导练习册第3章章末复习课.doc

题型一 指数、对数的运算1．指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收” ，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆” ，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．例 1 (1)化简：；92 23253( 8)1010(2)计算：2log32－log3＋log38－.3295log 325解 (1)原式＝.2239551 131332222210(2 )(10 )10210102102(2)原式＝log34－log3＋log38－5329log 352＝log3－5＝log39－9＝2－9＝－7.(4 ×932× 8) 5log 9跟踪训练 1 计算 80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．42323答案 111解析 ∵log32×log2(log327)＝log32×log23＝×＝1，lg 2lg 3lg 3lg 2∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.31 4422题型二 数的大小比较数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于 0” ， “大于等于 0 小于等于 1” ， “大于 1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．例 2 比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，－1.5；(12)(2)log20.4，log30.4，log40.4.解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，(12)∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>－1.5>80.48.(12)(2)∵对数函数 y＝log0.4x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.44log0.23，即 log0.22>log0.049.(3)∵函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，当底数 a 大于 1 时在 R 上是增函数；当底数 a 小于 1 时在 R上是减函数，而 1.21 时，有 a1.2a1.3.(4)∵y＝x3在 R 上是增函数，且 0.210，且 a≠1，试讨论函数的单调性．2617( )xxf xa解 设 u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，则当 x≤－3 时，其为减函数，当 x>－3 时，其为增函数，又当 a>1 时，y＝au是增函数，当 01 时，原函数在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函2617( )xxf xa数．当 00.又 y＝log0.2u 在定义域内递减，∴当 3x≥1(t≥1)，即 x≥0 时，u＝9x－2×3x＋2 递增，∴y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递减．同理，当 x≤0 时，y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递增．故函数 y＝log0.2(9x－2×3x＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．(2)①若 a>1，则 y＝logat 递增，且 t＝a－ax递减，而 a－ax>0，即ax0，即 ax1，∴y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数 y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．题型四 幂、指数函数、对数函数的综合应用指数函数与对数函数性质的对比：指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．(1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与 a 的取值有密切的联系．a 变化时，函数的图象和性质也随之变化．(2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1,0)．(3)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性．(4)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两函数图象关于直线 y＝x 对称．例 4 已知函数 f(x)＝lg 在 x∈(－∞，1]上有意义，求实数 a 的取值范围．1＋2x＋a·4x3解 因为 f(x)＝lg 在(－∞，1]上有意义，1＋2x＋a·4x3所以 1＋2x＋a·4x>0 在(－∞，1]上恒成立．因为 4x>0，所以 a>－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x＋(12)x]令 g(x)＝－，x∈(－∞，1]．[(14)x＋(12)x]由 y＝－x与 y＝－x在(－∞，1]上均为增函数，可知 g(x)在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以 g(x)max＝g(1)＝－＝－ .(14＋12)34因为 a>－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x＋(12)x]所以 a 应大于 g(x)的最大值，即 a>－ .34故所求 a 的取值范围为.(－34，＋∞)跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．(1)判断函数的奇偶性；(2)若 f(x)＝lg g(x)，判断函数 g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．解 (1)由Error!，得－10，x2－x1>0，∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．题型五 函数模型及应用(1)一次函数模型y＝kx＋b(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(3)指数函数模型y＝abx＋c(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(5)幂函数模型y＝axn＋b常用函数模型(6)分段函数y＝Error!例 5 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 R 与管道半径r 的函数关系为 R＝kr4(k>0，k 是常数)．(1)假设气体在半径为 3 cm 的管道中，流量速率为 400 cm3/s，求该气体通过半径为 r cm 的管道时，其流量速率 R 的表达式；(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为 5 cm，计算该气体的流量速率．解 (1)由题意，得 R＝kr4(k 是大于 0 的常数)．由 r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得 k·34＝400，∴k＝，∴流量速率 R 的表达式为 R＝r4.4008140081(2)∵R＝r4，40081∴当 r＝5 cm 时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．40081即气体通过管道半径为 5 cm 时，该气体的流量速率约为 3 086 cm3/s.跟踪训练 5 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比，药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝t－a(a 为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(116)(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y＝Error! (2)0.6解析 (1)由题意和图示知，当 0≤t≤0.1 时，可设 y＝kt(k 为待定系数)，1 10t由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；同理，当 t>0.1 时，可得 1＝0.1－a(116)⇒0.1－a＝0⇒a＝.110(2)由题意可得 0.6，即至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．(116)[呈重点、现规律]1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．3．函数建模的基本过程如图1 10t。