新高考高中数学概率统计专题13超几何分布(解析版).docx

专题13 超几何分布 例1．（2022·广西河池·模拟预测（理））每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求的值：(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.【解析】（1）由频率分布直方图得：.解得；（2）由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列为：0123.例2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表：班级代号12345678910需看护学生人数20182730242332352120已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护．(1)若将上述表格中人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；(2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．【解析】(1)若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，共种不同的方法，其中班级代号为1，2的两个班合班看护共种不同的方法．记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率.(2)随机变量的可能取值为，可得，，，，则的分布列为：0123 所以数学期望例3．（2022·北京·景山学校模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）【解析】（1）由频率分布直方图得：，解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123数学期望.（3），理由如下：由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.例4．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【解析】解：（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且服从参数为，，的超几何分布，因此；（1分）所以，，，；（4分）所以的分布列为：0123（6分）（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，（7分）由于事件，，彼此互斥，且，而，，，（10分）所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：．（11分）答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．（12分）例5．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【解析】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为，且、1、2、3，服从超几何分布，分布列如下：0123即0123（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到例6．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，（1）请列出的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【解析】解：（1）依题意得，随机变量服从超几何分布，随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4．．所以的分布列为：01234（2）由分布列可知至少选3名男生，即．例7．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．【解析】解：设该批产品中次品有件，由已知，（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分）（2）可能为0，1，2（10分）的分布为：012则（13分）例8．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【解析】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用表示“5箱中不合格产品的箱数”，则服从超几何分布，2，．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的概率为，即．答：该批产品被接收的概率是．例9．某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．【解析】解：从6件产品中，抽取2件的概率有种（1）其中两件都是正品的基本事件有：种故2件都是正品的概率（2）由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率即至少有一件次品的概率．例10．已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；（2）记恰好在第次测试时3件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值．【解析】解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；则有种情况，从10件产品中顺序取出5件，有种情况，则第5次测试时3件次品全部被测出的概率，（2）根据题意，分析可得的范围是，当时，若恰好在第次测试时3件次品全部被测出，则第次取出第3件次品，前次中有2次是次品，次是正品；而从10件产品中顺序取出件，有种情况，则，则（3），（4），（5），（6）；当时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，则；当时，即恰好在第8次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，则；当时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，此时（9）（3）（4）（5）（6）（7）（8）故，．例11．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球．（Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望．【解析】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则．所以，．答：三次取球中恰有2个红球的概率为．（4分）（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则，整理得：，解得（舍或．所以，红球的个数为3个．（8分）（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．所以的分布列为23456所以，．（13分）。