2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）真题含答案解析.docx

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）数学（理工类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.设集合，Z 为整数集，则中元素的个数是{ | 22}Axx AI Z（A）3（B）4（C）5（D）62.设 i 为虚数单位，则的展开式中含 x4的项为6(i)x（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x43.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点πsin(2)3yxsin2yx（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度π 3π 3（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度π 6π 64.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A）24（B）48（C）60（D）72 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A）2018 年（B）2019 年（C）2020 年（D）2021 年 6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项 式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值 的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）357.设 p：实数 x，y 满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数 x，y 满足则 p 是 q 的1,1,1,yxyxy   （A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且22(p0)ypx=2,则直线 OM 的斜率的最大值为PMMF（A）（B）（C）（D）13 32 32 29.设直线 l1，l2分别是函数 f(x)=图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且ln ,01,ln ,1,xxx x l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是 （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)10.在平面内，定点 A，B，C，D 满足==,﹒=﹒=﹒=-2，动点DAuuu rDBuuu rDCuuu rDAuuu rDBuuu rDBuuu rDCuuu r DCuuu r DAuuu rP，M 满足=1，=，则的最大值是APuuu rPMuuu u rMCuuu u r2BMuuuuu r（A）（B）（C）（D）43 449 4376 3 4372 33 4二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

11.cos2–sin2=.π 8π 812.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成 功次数 X 的均值是. 13.已知三棱镜的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是14.已知函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）=，则 f（）+ f（1）4，‒5 4=15．在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为；' 2222(,)yxPxyxy 当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义'C为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点 A 的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点 A'A'A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”关于 y 轴对称；'C④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准（吨） 、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部xxx 分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ， 将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中 a 的值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准（吨） ，估计的值，并说明理由.xx17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且.coscossinABC abc（I）证明：；sinsinsinABC（II）若，求.2226 5bcabctan B18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD. E 为边 AD 的中点，1 2异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. （I）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PBE，并说明理由； (II)若二面角 P-CD-A 的大小为 45°，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.19.（本小题满分 12 分）已知数列{}的首项为 1，为数列{}的前 n 项和，，其中 q>0，.nanSna11nnSqS*nN（I）若成等差数列，求 an的通项公式；2322,,2a a a (ii)设双曲线的离心率为，且，证明： .2 2 21nyxane25 3e 12143 3nnnneee20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 l:y=-x+3𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2= 1(𝑎 > 𝑏 > 0)与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （II）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存 在常数 λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求 λ 的值. 21.（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a ∈R. （I）讨论 f(x)的单调性；（II）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)＞ -e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。