三角函数推导公式应用.doc

三角函数诱导公式 B 添加义项 ?所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数折叠编辑本段基本简介所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数折叠编辑本段常用公式折叠公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈z折叠公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα折叠公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα折叠公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα折叠公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα折叠公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα折叠推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα折叠诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”口诀解析：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化与否（“变”是指正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切、正割变余割、余割变正割）。

符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看k·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号任意一个角都可以表示为的形式当把任意角化为形如k·(π/2)±α的式子后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到之间①“奇”与“偶”：是指把任意角转化之后的k·(π/2)±α形式中的系数k的奇偶性，即确定系数k是奇数还是偶数；②“变”与“不变”：是指三角函数的名称改变与否，即若变，则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切，正割变余割、余割变正割综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为k·(π/2)±α的形式后，若k是奇数则三角函数名称改变，若k是偶数则三角函数名称不改变③“象限”：是指把任意角k·(π/2)±α所在的象限④“符号”：是指在确定所在的象限后，相应的原三角函数值的符号（如图）折叠编辑本段判断口诀“一全正；二正弦；三双切；三正切，四余弦这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都为“+”； 第二象限内只有正弦为“+”，其余全部为“－”； 第三象限内只有正切和余切为“+”，其余全部为“－”； 第四象限内只有余弦为“+”，其余全部为“－”。

ASCT”反Z意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值折叠编辑本段基本关系折叠倒数的关系sinα ·cscα=1cosα ·secα=1tanα ·cotα=1折叠商的关系tanα=sinα/cosα=secα/cscα(cosα≠0,cscα≠0)cotα=cosα/sinα=cscα/secα(sinα≠0,secα≠0)折叠平方的关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)折叠编辑本段记忆方法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型总结：奇变偶不变，符号看象限  倒数关系对角线上两个函数互为倒数；折叠商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系由此，可得商数关系式折叠平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方折叠两角和差公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanαtanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanαtanβ)折叠二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)tan2α=2tanα/[1－tan^2(α)]折叠半角的正弦、余弦和正切公式sin^2(α/2)=(1－cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1－cosα)/sinα折叠万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1－tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=[2tan(α/2)]/[1－tan^2(α/2)]折叠三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosαtan3α=[3tanα－tan^3(α)]/[1－3tan^2(α)]折叠三角函数的和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] ·cos[(α－β)/2]sinα－sinβ=2cos[(α+β)/2] ·sin[(α－β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α－β)/2]cosα－cosβ=－2sin[(α+β)/2]·sin[(α－β)/2]折叠三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]折叠编辑本段推导过程折叠万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[(cos^2(α)+sin^2(α)]......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan^2(α)]然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式正切的万能公式可通过正弦比余弦得到折叠三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α)]/[cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα]上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=[3tanα－tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+[1－2sin^2(α)]sinα=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)=3sinα－4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=[2cos^2(α)－1]cosα－2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)－cosα+[2cosα－2cos^3(α)]=4cos^3(α)－3cosα即sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosα折叠和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]应用：一、口诀解析任意一个角都可以表示为的形式。

当把任意角化为该形式后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到之间，即初中所学，学生熟悉的锐角三角函数值问题了下面对该口诀进行必要的解析：①“奇”与“偶”：是指把任意角化为的形式中的奇偶性，即是奇数还是偶数；②“变”与“不变”：是指三角函数的名称改变与否，即若变，则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为的形式后，若是奇数则三角函数名称改变，若是偶数则三角函数名称不改变③“象限”：是指把任意角化为的形式后，假设时，所在的象限④“符号”：是指在确定所在的象限后，相应的原三角函数值的符号（如。