2019年高考数学一轮复习课时分层训练56直线与圆锥曲线的位置关系理北师大版_.pdf

课时分层训练课时分层训练( (五十六五十六) ) 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 A A 组 基础达标 一、选择题 1．若直线y＝kx与双曲线－＝1 相交，则k的取值范围是( ) x2 9 y2 4 A. B. (0， 2 3) (－ 2 3，0) C. D.∪ (－ 2 3， 2 3) (－∞，－ 2 3) ( 2 3，＋∞) C C [双曲线－＝1 的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得 x2 9 y2 4 2 3 k∈.] (－ 2 3， 2 3) 2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)， 2 若·＝0，则m＝( ) MA → MB → A. B. 2 2 2 C.D．0 1 2 B B [由Error!得A(2,2)，B. 2 ( 1 2，－ 2) 又∵M(－1，m)且·＝0， MA → MB → ∴2m2－2m＋1＝0，解得m＝.] 2 2 2 3．直线y＝kx＋2 与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) 【导学号：79140306】 A．1B．1 或 3 C．0D．1 或 0 D D [由Error!得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意． 若k≠0，则Δ＝0， 即 64－64k＝0，解得k＝1， 所以直线y＝kx＋2 与抛物线y2＝8x有且只有一个共公点时，k＝0 或 1.] 4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l：y＝2x＋3 被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得 x2 a2 y2 b2 的弦长为 7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为 7 的有( ) ①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3. A．1 条B．2 条 C．3 条D．4 条 C C [直线y＝2x－3 与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3 与直线l关于x轴对称， 直线y＝－2x＋3 与直线l关于y轴对称，故有 3 条直线被椭圆C截得的弦长一定为 7.] 5．已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两 x2 a2 y2 b2 点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 x2 18 y2 9 x2 27 y2 18 C.＋＝1 D.＋＝1 x2 36 y2 27 x2 45 y2 36 A A [因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝ (x－3)，代入 1 2 椭圆方程＋＝1 消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， x2 a2 y2 b2 ( a2 4 ＋b2) 3 2 9 4 所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以 3 2a2 2(a2 4 ＋b2) b＝c＝3，a＝3， 2 所以E的方程为＋＝1.] x2 18 y2 9 二、填空题 6．已知倾斜角为 60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点， 则弦AB的长为__________． 16 [直线l的方程为y＝x＋1， 3 由Error!得y2－14y＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， 所以|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.] 7．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，则l的方程是 x2 36 y2 9 __________． x＋2y－8＝0 [设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则＋＝1，且＋＝1， x2 1 36 y2 1 9 x2 2 36 y2 2 9 两式相减得＝－. y1－y2 x1－x2 x1＋x2 4(y1＋y2) 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以＝－ ，故直线l的方程为y－2＝－ (x－4)，即x＋2y－8＝0.] y1－y2 x1－x2 1 2 1 2 8．已知椭圆＋＝1(00)． 图 8­9­2 (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)当p＝1 时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的 中点M的坐标． [解] (1)抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为. ( p 2，0) 由点在直线l：x－y－2＝0 上， ( p 2，0) 得 －0－2＝0，即p＝4. p 2 所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)当p＝1 时，曲线C：y2＝2x. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)． 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ， 于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b. 由Error!消去x，得y2＋2y－2b＝0. 因为P和Q是抛物线C的两相异点，则y1≠y2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋40.(*) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1. 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1. 所以点M(1，－1)，此时b＝0 满足(*)式． 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)． B B 组 能力提升 11．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在 3 x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( ) A.B．2 52 C．2D．3 33 C C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直 线MF的方程为y＝(x－1)． 3 联立得方程组Error! 解得Error!或Error! ∵点M在x轴的上方， ∴M(3,2)． 3 ∵MN⊥l， ∴N(－1,2)． 3 ∴|NF|＝＝4， (1＋1)2＋(0－2\r(3))2 |MF|＝|MN| ＝＝4. (3＋1)2＋(2\r(3)－2\r(3))2 ∴△MNF是边长为 4 的等边三角形． ∴点M到直线NF的距离为 2. 3 故选 C.] 12．(2017·青岛质检)过双曲线C：－＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行 x2 a2 y2 b2 的直线，交C于点P.若点P的横坐标为 2a，则C的离心率为__________． 2＋ [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为 ，又直线l过右焦点 3 b a F(c,0)，则直线l的方程为y＝ (x－c)． b a 因为点P的横坐标为 2a，代入双曲线方程得－＝1， 4a2 a2 y2 b2 化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)． 33 故点P的坐标为(2a，－b)， 3 代入直线方程得－b＝ (2a－c)， 3 b a 化简可得离心率e＝ ＝2＋.] c a3 13．(2018·广州综合测试(二))已知定点F(0,1)，定直线l：y＝－1，动圆M过点F，且 与直线l相切． (1)求动圆M的圆心轨迹C的方程； (2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线 l1，l2两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值. 【导学号：79140308】 [解] (1)法一：设圆心M到直线l的距离为d， 由题意|MF|＝d. 设圆心M(x，y)，则有＝|y＋1|. x2＋(y－1)2 化简得x2＝4y. 所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y. 法二：设圆心M到直线l的距离为d， 由题意|MF|＝d. 根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线， 焦点为F(0,1)，准线为y＝－1. 所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y. (2)法一：设lAB：y＝kx＋1， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)． 1＋k2 因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝ . x2 4 x 2 所以直线l1的斜率为k1＝， x1 2 直线l2的斜率为k2＝. x2 2 因为k1k2＝＝－1， x1x2 4 所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形． 所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径． 因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积 最小，最小面积为 4π. 法二：设lAB：y＝kx＋1， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)． 1＋k2 因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝ . x2 4 x 2 所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)， x1 2 即y＝x－.① x1 2 x2 1 4 同理可得直线l2的方程为y＝x－.② x2 2 x2 2 4 联立①②，解得Error!即P(2k，－1)． 因为·＝(x1－2k，y1＋1)·(x2－2k，y2＋1) PA → PB → ＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0， 所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形． 所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径． 因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积 最小，最小面积为 4π. 法三：设lAB：y＝kx＋1，由对称性不妨设点A在y轴的左侧， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 解得A(2k－2，2k2－2k＋1)， k2＋1k2＋1 B(2k＋2，2k2＋2k＋1)． k2＋1k2＋1 所以|AB|＝4(k2＋1)． 因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝ . x2 4 x 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)， x1 2 即y＝x－.① x1 2 x2 1 4 同理可得直线l2的方程为y＝x－.② x2 2 x2 2 4 联立①②，解得Error!即P(2k，－1)． 因为AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋1)， 所以AB的中垂线方程为y－(2k2＋1)＝－ (x－2k)， 1 k 因为PA的中垂线方程为y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]， k2＋1k2＋1k2＋1 联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k,2k2＋1)． 因为点M，N的坐标相同， 所以AB的中点M为△PAB的外接圆的圆心． 所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB， 所以线段AB是△PAB外接圆的直径． 因为|AB|＝4(k2＋1)， 所以当k＝0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4π. 。