备战2025年高考理科数学考点一遍过考点04函数及其表示.docx

专题04 函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2．必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tanx的定义域为.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.求二次函数的值域时，应掌握配方法：.(4)y＝sinx的值域为[−1,1]．三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．考向一 求函数的定义域在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点[来源:Z§xx§k.Com](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.典例1 函数的定义域为A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选C．【名师点睛】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．1．函数的定义域为A． B．C． D．典例2 若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】的定义域是，的定义域是，则的定义域为满足不等式的x的取值范围，，故答案为.【名师点睛】根据“若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.2．设函数，则的定义域为A． B．C． D．考向二 求函数的值域求函数值域的基本方法1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.3．分离常数法：将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．基本不等式法：利用基本不等式(a>0，b>0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.11．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）[0，8]；（2）；（3）.【解析】（1），∵≤x≤1，∴≤x−2≤，∴1≤(x−2)2≤9，则0≤(x−2)2≤8．故函数的值域为[0，8]．（2）f(x)的定义域为，令，得，故.（3）.当且仅当x＝2时“＝”成立.故的值域为.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，，已知函数，则函数的值域为A． B．C． D．[来源:Zxxk.Com]考向三 求函数的解析式求函数解析式常用的方法1．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4．方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).典例4 已知，则A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一（配凑法）：，又，所以.方法二（换元法）：令，则，所以，所以.【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，如果忽略了这一点，在求时就会出错.4．若一次函数满足，则______．考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知，则＋等于A．－2　　 B．4C．2　　　　 D．－4【答案】B【解析】∵＝，＝＝f＝，∴＋＝4.故选B．【名师点睛】分段函数的应用：设分段函数.(1)已知x0，求f(x0)：①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2；②代入相应解析式求解．(2)已知f(x0)＝a，求x0：①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0；②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；④写出结论．(3)解不等式f(x)＞a：或.5．已知函数，若，则实数的值为A． B．或C． D．或典例6 已知函数，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所。