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第七章 季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法 X-11 程序本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切 季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过 S 个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以 S 为周期的周期性特性具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里 S 为周期长度注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为 4） 、月度数据（周期为 12） 、周数据（周期为 7） ；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7 ）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1） 将原序列分解成 S 个子序列（Buys-Ballot 1847）周期 周期点 1 2 3 …… S 总和 平均1 X1 X2 X3 …… XS T*1 A*12 XS+1 XS+1 XS+3 …… X2S T*2 A*23 XS+1 X2S+2 X2S+3 …… X3S T*3 A*3…… ………………………………………………………………………………n X(n-1)S+1 X(n-1)S+2 X(n-1)S+3 …… XnS T*n A*1n总和 T1* T2* T3* …… TS* T T/S平均 A1* A2* A3* …… AS* T/N T/SN对于这样每一个子序列都可以给它拟合 ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。

但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大tx启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化） ，在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子定义：季节差分可以表示为 StttStSt XBXW)1(、、 随机季节模型1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合AR（1）： ，可以还原为： tStStt eWBeW)1(1 tSeXB)1(MA（1）： ，可以还原为： tttt 1 ttS12．形式：广而言之，季节型模型的 ARMA 表达形式为（1）tStSeBVU)()(这里， qSSSS pPtdt BVUXW21)(平 稳注：（1）残差 的内容；（2）残差 的性质tete§2 乘积季节模型、、 乘积季节模型的一般形式由于 不独立，不妨设 ，则有te ),(~mdnARIMet（2）ttdaB)()(式中， 为白噪声； ； 。

ta nB21 mBB21)(在（1）式两端同乘 ，可得：d)(（3）tStdStDSdtS aVeVXBUWBU )()()()( 注：（1）这里 表示不同周期的同一周期点上的相关关系； 则表示同一周期tDSXBU)( tdXB)(内不同周期点上的相关关系二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描2）从结构上看，它是季节模型与 ARIMA 模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用来表示Sqpmdn),(),(（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的 ARIMA 模型例如： ，tSt aBVXB)1)()1(可以展开为 ，此时也有 ，并且其中有许多tSSt aBVXB)1()( 11,0~SARIMt系数为 0但其参数并不独立所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型） 常用的两个模型1． 类型为： （4）tt aBXB)1)()( 212  S)1,0(,2． 类型为： （5）tt 21、、 乘积季节模型与 ARIMA 模型的关系我们可以将乘积季节模型（3）tStdStDSdtdS aBVeBVXBUWBU )()()()( 展成 ARIMA 模型形式。

例如， 是 季节模型，将式子的右边展成：tSt aVy)1)()1()1,0(,（6）tSjjtSt aBBB )1*11这是一个 阶 ARIMA 模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系)1,0(S（7）1*1*1*2,,0, VSS尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零§3 季节性时间序列模型的建立季节性时间序列模型的建立也包含这样几个过程：模型的识别、模型的定阶、参数估计、诊断检验等基本上采用的是 BOX-JENKINS 方法，也就是立足于考察数据序列的样本自相关、偏自相关函数如果样本自相关、偏自相关函数既不截也不拖尾，而且也不呈线性衰减趋势，相反地，在相应于周期 S 的整数倍点上，自相关（或偏自相关）函数出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，我们就可以判明原数据序列适合于乘积季节模型 季节性 MA 模型的自相关函数是一个季节性时间序列，如果 ，则tXStMAX)1(~（6）tSteB)1(不平稳，设 ，则te~MAt（7）tta1我们就能得到一个乘积季节模型（8）tSt BX))(1（9）1Sttttt aa当 S=12 时，有（10）)3(~132121MAttttt 可以计算出： 120)(1032154因此有： 01213 0)]([21210120)]([21154注：（1） 为 的一阶自相关系数， 为 的一阶自相关系数；1ttaBe)(112tSteBX)(（2） 与 比较容易求解；2（3）可以推广到更一般的形式。

季节性 AR 模型的偏自相关函数是一个季节性时间序列，如果 ，则tXStARX)1(~（11）tSeB)1(不平稳，设 ，则te(~ARt（12）ta1我们就能得到一个乘积季节模型（13）ttSXB))(1（14）tta)1当 S=12 时，有（15）)13(~132121 ARXttttt 可以根据 YULE-WORK 方程求出偏自相关函数注：（1）根据它在周期点上的偏自相关函数的截尾性和拖尾性识别模型的类型和定阶；（2）可以推广到更一般的形式 季节性时间序列模型的建模方法利用 B-J 建模方法：判别周期性，即 S 的取值；根据 SACF 和 SPACF 提供的信息识别模型类型和阶数，最后进行估计和诊断检验具体做法：第一步：对时间序列 进行普通差分 和季节差分 ，以得到平稳的序列 ， ；tXStWtDSdtX第二步：计算差分后序列的 SACF 和 SPACF，选择一个暂定的模型；第三步：由 SACF 和 SPACF 函数的值，利用矩估计法得到的值作为初始值，对模型参数作最小二乘估计；第四步：模型的诊断与检验注：（1）关于差分阶数 d 和季节差分阶数 D 的选取可采用试探的方法 1；也可使用差分后序列均方差的大小挑选；1 详见备课笔记。

2）季节差分算子的阶数不宜过高 应用实例【例 6-1】试用 1987 年到 1996 年甲地某商品各月销售量资料为例建立季节性时间序列模型 2建模型过程：1．时间序列图20030040050060070080087 88 89 90 91 92 93 94 95 96SPXL明显存在着季节性变化，并且以 12 为周期2．SACF 和 SPACF 函数图-0.4-0.200.20.40.60.811 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647482 资料来源王振龙：《时间序列分析》 ，中国统计出版社，P189SACF-0.4-0.200.20.40.60.811 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748再次证明，时间序列存在着以 S=12 为周期的季节性变动3．进行差分变换需要进行一阶普通差和以 12 为周期的季节差分，得到（17）ttXBY)1(（16）tttt WXB)1(22计算其自相关系数。

一阶普通差分图-300-200-100010020030040087 88 89 90 91 92 93 94 95 96DSPXL一阶普通差分和一阶季节差分序列图SPACF-4-3-2-101234587 88 89 90 91 92 93 94 95 96SDSPXL4．模型的识别与定阶5．参数估计6．诊断检验7．模型应用预测结果100200300400500600700800900100088 89 90 91 92 93 94 95 96 97SPXLFForecast: SPXLFActual: SPXLForecast sample: 1987:01 1997:12Adjusted sample: 1988:02 1997:12Included observations: 107Root Mean Squared Error 16.11253Mean Absolute Error 14.32569Mean Abs. Percent Error 2.514184Theil Inequality Coeficient 0.012983 Bias Proportion 0.790503 Variance Proportion 0.006491Covariance Proportion 0.203006【例 6-2】表显示了我国 1990 年 1 月至 1997 年 12 月工业总产值的月度资料（1990 年不变价格） ，记作IPt，共有 96 个观测值，对序列 IPt 建立 ARMA 模型 3，在建模过程中将 1997 年 12 个月的观测值留出作为评价预测精度的参照对象。

1990 年 1 月至 1997 年 12 月我国工业总产值 单位：亿元月/年 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 19971 1421.400 1757.800 1984.200 2179.100 2903.300 2996.700 3476.600 3843.8402 1367.400 1485.700 1812.400 2408.700 2513.800 2740.300 2790.300 3181.2603 1719.700 1893.900 2274.700 2869.400 3409.000 3580.900 3942.600 4404.4904 1759.600 1969.800 2328.90。