2022年天津南开翔宇学校 高一数学理月考试题含解析.docx

2022年天津南开翔宇学校 高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 关于函数，下列命题判断错误的是（    ）A．图像关于原点成中心对称             B． 值域为C．在上是减函数               D． 在上是减函数参考答案：A2. 直线x﹣y=0的倾斜角为（　　）A．1 B． C．﹣1 D．参考答案：B【考点】直线的斜率．【分析】根据题意，设直线x﹣y=0的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率k=1，则有tanθ=1，由θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y=0的倾斜角为θ，（0≤θ＜π）直线的方程为x﹣y=0，即y=x，该直线的斜率k=1，则有tanθ=1，且0≤θ＜π，故θ=；故选：B．3. 已知，则的值为A．          B.          C.         D.参考答案：D略4. 执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（　　） A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]参考答案：A【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得： 函数分为两段，即t＜1与t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t； 不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为：s=， 如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象， 则输出的s属于[﹣3，4]． 故选A． 【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式． 5. 若函数，  ，的值域（    ）．A．(2 , 8]           B．[   8]       C．［2，＋∞）    D．（  ， ＋∞）参考答案：B6. 下列函数中周期为π且为偶函数的是A. B. C. D. 参考答案：A【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.7. 集合A={1，x，y}，B={1，x2，2y}，若A=B，则实数x的取值集合为（　　）A．{} B．{，﹣} C．{0， } D．{0，，﹣}参考答案：A【考点】集合的相等．【分析】根据集合的相等，得到关于x，y的方程组，解出即可．【解答】解：集合A={1，x，y}，B={1，x2，2y}，若A=B，则，解得；x=1或0，y=0，显然不成立，或，解得：x=，故实数x的取值集合为{}，故选：A．8. 8．函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 A．　　　B．C．       D． 参考答案：A略9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，设D（x，0）则E（x+，0），则可表示为关于x的函数，根据x的范围求出函数的值域．【解答】解：以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则E（x+，0），﹣1≤x≤．∴=（x，﹣1），=（x+，﹣1），∴=x2+x+1=（x+）2+．∴当x=﹣时，取得最小值，当x=﹣1或时，取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是常用解题方法，属于中档题．10. 若，是第三象限的角，则等于（    ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】先由同角三角函数的关系求出的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为，是第三象限的角，所以，，故选A.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是第      象限角．参考答案：第三或第四考点： 象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；弦切互化． 专题： 阅读型．分析： 本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据cosθ?tanθ＜0，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．解答： 且cosθ≠0∴角θ是第三或第四象限角故答案为：第三或第四点评： 准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”12. 在△中，三边所对的角分别为，若，则＝    ▲     参考答案：或13. 已知，求代数式       参考答案：略14.  参考答案：15. 已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．参考答案：0【分析】根据题意，由偶函数的定义域的性质可得b+2+b=0，解可得b=-1，进而可得f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得a的值，将a、b的值相加即可得答案．【详解】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数， 有b+2+b=0，解可得b=-1， 则f（x）=（a-1）x3-x2， 若f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有f（-x）=f（x）， 即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2， 分析可得：a=1， 则a+b=0； 故答案为：0．【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义．16. （5分）将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①不论θ取何值，总有AC⊥BD；②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；③当θ=60°时，三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确的命题的序号是    ．（把你认为正确的序号都填上）参考答案：①②③考点： 棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： 通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得①正确；过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得②正确；利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③正确．解答： 解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；∵VD﹣ABC==，∴③正确；故答案为：①②③．点评： 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力．17. 已知数列满足,,则=_____________.参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. [12分]如图：是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积． 参考答案：（1）证明：依题意：平面    ∴     ∴平面．      ………………4分（2）证明：中，，∴                           中，，∴．            ∴ ． ∴     在平面外，在平面内，∴平面．      ………………8分（3）解：由（2）知，，且          ∴到的距离等于到的距离为1．   ．            平面   ∴． ………………12分　19. 设函数, .令(I) 若，求的取值范围；(II) 当时，求函数的最大值与最小值及对应的x值．参考答案：解：(I)当时，由，所以因为，所以当时，由，所以因为，所以综上 (II) 由 令                   当t＝时，，即.，此时(写成也可以) 当t=4时，，即.，此时 略20. 数列   (Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当参考答案：解析:  (Ⅰ)因为所以            一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①     ②   ①-②得，                    所以   要证明当时，成立，只需证明当时，成立.   证法一   (1)当n = 6时，成立.   (2)假设当时不等式成立，即   则当n=k+1时，   由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，    证法二   令，则   所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，21. 已知时不等式恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案：【分析】讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案.【详解】解：（1）当时，恒成立，符合题意（2）当时，不合题意舍去（3）当时，综上所述【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，忽略二次系数为0的情况是容易发生的错误.22. 已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可．（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1。