（整理版）代数不等式的解法·例题.doc

代数不等式的解法例题例5-3-1 解不等式16x+x4-x5＜16解 原不等式可同解变形为x5-x4-16x+16＞0左边分解因式，得同解不等式(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞2}注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集例5-3-2 (1)关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)求ax2+bx+c＞的解集，并说明b的取值范围a，c的关系；(2)假设a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0解 (1)由题设知，a＜0所以，(x-α)(x-β)＜0由此可知，当α≠β时，不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}；当α=β时，不等式无解又由题设a＜0，且b2-4ac≥0，即b2≥4ac因此，当c≥0时，有4ac≤0，这时b可取任意实数；当c＜0时，那么4ac＞0，这时(2)由于a＜0，从而a-1＜0，故所给不等式同解于假设b=0，此不等式即为x2＜0这时无解；解集为注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。

解 [法一] 移项、化简，原不等式同解于(x+1)x(x-1)(x-3)＜0由以下图可知，原不等式的解集是{x|-1＜x＜0或1＜x＜3}[法二] 原不等式同解于不等式组故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x＜0从而所求解集为{x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3或-1＜x＜0}注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交〞、“并〞关系例5-3-4 解以下不等式：解 (1)原不等式同解于不等式组解不等式组(Ⅰ)，得0＜x＜1，(Ⅱ)无解故原不等式的解集是{x|0＜x＜1}(2)令t=x2-x，那么原不等式化为此不等式的允许值集确定于不等式组另一方面，不等式(i)可化为注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性例5-3-5 解以下不等式：解 (1)原不等式可化为(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}原不等式可化为两边立方，得化简并整理后即为解前一不等式组得x＞4；后一不等式组无解故原不等式的解集为{x|x＞4}。

例5-3-6 解关于x的不等式：当a＜0时，由(i)得t＞1-a＞0，即当a=0时，(i)无解；于是，当a≥1时，(i)无解综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为当a=0或a≥1时，原不等式无解注 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需要高超的技巧，按常规方法即可解决关键是变量代换，难点是严间，要认真领会。