江苏宿迁宿豫区陆集初级中学初中数学教学 中考中的三角板、直尺、量角器.doc

中考中的三角板、直尺、量角器直尺、三角板、量角器是数学学习中的必备工具，学生最熟悉不过了许多中考命题选取这些学习工具进行考查，既是对熟悉的图形性质的检验，也是关注学生的生活，引导大家从数学角度关注熟悉的图形现分类总结如下：一、考查求角度1.量角器例1.（兰州市2010） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86、30，则∠ACB的大小为A．15 B．28 C．29 D．34分析：∠ACB为圆周角，利用圆周角与圆心角之间关系，圆心角与所对的弧的度数关系解：∠ACB=∠AOB=(86－30)=28故选择B O2.三角板例2. (菏泽市2011)一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠等于3045A.30 B.45 C.60 D.75分析：∠既可看作三角形的内角也看作三角形的外角。

利用内角和定理或外角性质即可解：∠=30 +45=75或∠=180－（90－30）－（90－45）=753. 直尺与量角器结合 例3.（衢州市2011）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70，OF与AB交于点E，那么∠AEF=　　．分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出∠AEF等于量角器的一条刻度线OF的读数．解：由已知量角器的一条刻度线OF的读数为70，即∠COF=70，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠COF=70，故答案为：70．4. 三角板与直尺结合例4.（遵义市2011）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为A. B. C. D. 分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出与∠3相等，而利用外角性质可找出∠3与∠1的关系解：由直尺的对边平行，可得=∠3而∠3=∠1+90=45+90=135所以=135故选择D.在求角度的问题中，主要利用直尺的对边平行，即平行线的性质三角板的各个内角的度数、三角形的内角及外角的性质量角器可看作一个半圆，利用其中的圆周角、圆心角、圆心角对应弧的度数之间的关系。

二、考查求线段方面1.求线段长度(1)量角器例5.（威海市2011）如图①，将一个量角器与一张等腰三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE=5㎝；将量角器沿DC方向平移2㎝，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图②则AB的边长为_______㎝精确到0.1㎝）ABCEDABCFD图①图②分析：△ABC是一个等腰直角三角形，故AB=2CD，只需求出CD即可利用相切和三角函数就可求出解：设量角器的半径为r,在图②中，则CF=CE-2=3sin∠DCB=即： = sin45=解之得：r= 所以AB=2DC=2(r+CE)=2(+5)= 24.5(2)三角板 例6.（乐山市2011）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30，将三角板ABC绕C顺时针旋转90至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为 ( ) (A) 6㎝ (B) 4㎝ （C） （6－ ）㎝ （D）（）㎝ 分析：如上图右图，找出B′D就是所求的距离。

在直角三角形A B′D中，解之即得解：过B作B′D∥BC,交AB于D在Rt△ABC 中，AB=12, ∠A=30,得：AC=,BC=6A B′=AC-C B′=AC-BC=-6在Rt△ABC 中，A B′=－6, ∠A=30得：B′D= A B′tan30=(－6) =6－故选择C例7.（威海市2011）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90，∠E=45，∠A=60，AC=10，试求CD的长ACBDFE分析:CD在△BDC中不好求，过B作FC垂线段，构造出直角三角形求出EC与ED即可解：过B作BE⊥FC，垂足为E在Rt△ABC中，∠A=60，AC=10，可得：BC=ACtan60=10=10在Rt△EBC中，∠BCE=30，BC=10，可得：EC=BCcos30=10=15;BE= BCsin30=5又由题意可得：ED=BE=5所以：CD=EC－ED=15－52.求线段之间的关系例8.（威海市2008）图 1 AFBCED（1）把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F． 求证：AF⊥BE． 分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90，利用等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理可得出。

解：在△ACD和△BCE中， AC＝BC， ∠DCA＝∠ECB＝90， DC＝EC， ∴ △ACD≌△BCE（SAS） ∴ ∠DAC＝∠EBC． ∵ ∠ADC＝∠BDF， ∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90． ∴ ∠BFD=90 ∴ AF⊥BE．例9.（徐州市2008）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90，∠EDF＝30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如右图，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. 分析：求的是EP与EQ的数量关系，直接从图形中看不出联系，通过作垂线构造出直角三角形来解解：作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N ∵ //BC△AME∽△ABC，同理，∵ （图1）①若M、P重合，显然②若点M、P不重合，∵MEP＝NEQ＝90－PEN，Rt△EMP∽Rt△ENQ综上，对于考查线段方面的题目，多数是关于三角板方面的，这时要充分利用解直角三角形、相似、全等方面的知识来综合解题。

例11图ACEDBF3045三、考查图形面积或判断图形形状例10. (枣庄市2011)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2. 分析：阴影部分是一个等腰直角三角形，求出AC即可解：在Rt△ABC中，=14，∠B=30,得：AC=AB=14=7，依题意可知△AFC是等腰直角三角形所以阴影△AFC的面积=ACAC=例11.（盐城市2011中考）5．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ．分析：根据同一底上两上角相等的梯形是等腰梯形来判定解：利用矩形对边平行，可知AD∥BC,∠B=∠C=60所以四边形ABCD等腰梯形 对于图形一类的题目，都是关于三角板的抓住三角板的特点，问题就可迎刃而解四、考查函数、方程等综合知识例12.（2011•丽水）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=kx．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OB．（1）当点O与点A重合时，点P的坐标是　（4，0）　；（2）设P（t，0），当OB与双曲线有交点时，t的取值范围是　4≤t≤25或﹣25≤t≤﹣4　．分析：（1）当点O与点A重合时，即点O与点A是关于l对称点，利用直角三角形30的性质是解答即可；（2）注意到OB是固定的，变化的是对称轴，由对称性质可知：OB的所有关于l的对称线段是平行的。

从O与点A重合时与函数图象有交点，沿OA平移，直至到B在函数图象上止只要求出B在函数图象上时，P的坐标，即可确定取值范围同时，注意双曲线有两支解：（1）当点O与点A重合时,l交OA于D点，则OD=OA∵∠BAO=30，OB=2∴OA=4， OD=2 ∵在直角三角形ODP中，∠DPO=30，OD=2∴OP=2OD=4，∴点P的坐标是（4，0），故答案为：（4，0）．（2）解：连结B B交l于D, 则l⊥B B.过B作BC⊥OP，垂足为C∵∠AOB=60，∠ABO=90，OB=2∴AB=2∴点A（2，2）∵点A在双曲线为y=kx，∴2=可得：k=4所以设BC=m，则BC=BCtan60=m.∵点B在双曲线上∴m=即：，化简得：解之得：（舍去）∴B B=2m=2（）=在Rt△BDP中，∠BPD=30∴BP=2BD=B B=∴OP=OB+BP=2+= 即此时t=∵当点O与点A重合时，点P的坐标是（4，0）∴4≤t≤25 当处于第三象限时，由对称性可得或﹣25≤t≤-4，故答案为：4≤t≤25或﹣25≤t≤4．在考查函数、方程等综合知识中，重点要依据条件找出函数、方程，三角板此时只是起着直角三角形的作用。

总之，在平时，既要熟悉三角板、直尺、量角器的使用方法，更要熟悉这些工具的性质如直尺的对边平行；量角器可看作半圆，具有圆的性质；三角板具有直角三角形的性质等等这样在解题时便可抓住性质，综合分析选择合适的方法。