新教材高一数学必修第二册暑假作业第01练《平面向量及其线性运算》（原卷版）.doc

第01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理【知识梳理】知识点一 向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作||．【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．知识点二 平行向量（共线）1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．说明：（1）向量有两个要素：大小和方向．（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量． 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．知识点三 两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有|+|≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．另外还有|﹣|≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；|﹣|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．知识点四 向量的加法【知识点的知识】向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．知识点五 向量的减法【知识点的知识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．设＝，＝，则．即＝＝．即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终） 知识点六 向量的三角形法则【知识点的知识】三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．知识点七 向量加减混合运算【知识点的知识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．2、向量的减法运算．求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．设＝，＝，则．即＝＝．即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）知识点八 向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ （2）向量数乘运算的法则①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．1．（2022•镇海区校级模拟）已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022•江西模拟）已知向量，且，则　　A． B．1 C． D．23．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022•辽宁模拟）已知点为的重心，，点是线段的中点，则为　　A．2 B． C． D．5．（2022•乌鲁木齐模拟）若平面向量与方向相同，且，则　　A． B． C． D．6．（2022•榆林二模）已知，，则　　A．2 B．4 C． D．7．（2021•浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为　　A． B．2 C． D．38．（2022•吕梁一模）在中，为的中点，，，与交于，，则　　A． B． C． D．9．（2021•新乡二模）在中为边的中点，则　　A． B． C． D．二．填空题（共6小题）10．（2022•呼和浩特一模）已知菱形的边长为3，，点，分别在边，上，且满足，则　　．11．（2022•惠农区校级三模）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则　　．12．（2021•贵溪市校级模拟）若向量，则向量与向量共线．　　（判断对错）13．（2021•芜湖模拟）已知，，是单位向量，，则　　．14．（2022•重庆模拟）点在内部，满足，则　　．15．（2022•长安区校级三模）在中，，．是边上的中点，则的值为　　．16．（2020•滨州三模）已知是三角形内部一点，满足，，则实数　　A．2 B．3 C．4 D．517．（2017•宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为　　A．5 B．6 C．7 D．818．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．19．（上海）已知平面向量、、满足，且，，，2，，则的最大值是　　．20．（2019•广元模拟）在中，，，，设点，满足，，，若，则　　A． B． C． D．221．（2013•浙江模拟）已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是　　．。