中考数学二轮培优专题14 将军饮马问题（解析版）.doc

专题14 将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营问如何行走才能使总的路程最短模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长。

模型五、模型六的理论依据：垂线段最短模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值 方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。

方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短培优训练】1．（2022秋·广东韶关·八年级校考期中）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．【答案】6【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE，与AD交于点M．∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．2．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．【答案】【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，利用待定系数法求得直线A'B的解析式，即可得到点C的坐标．【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，∵A（1，1），∴A'（1，−1），设直线A'B的解析式为y＝kx＋b（k≠0），把A'（1，−1），B（3，5）代入得，解得，∴y＝3x−4，当y＝0时，x＝，∴点C的横坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【答案】3【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．【详解】解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．由对称性可知：， ，为等边三角形的周长===3故答案为：3【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．4．（2021秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．【答案】【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【详解】解：连接BE∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点C关于AD的对应点为点B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴BE是△ABC的中线，∴CE＝AC＝2，∴ 即EP+CP的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．5．（2022春·浙江台州·八年级校考开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．【详解】解：如图，连接D，∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，故答案为：4．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．【答案】     10     90°【详解】思路引领：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．答案详解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，则OM＝ON＝OP＝10，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，故△MON为等腰直角三角形．∴MN10．根据对称的性质得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，∵△MON为等腰直角三角形，∴∠OMN+∠ONM＝90°，∴∠OPQ+∠OPR＝90°，即∠QPR＝90°．故答案为10，90°．8．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．【答案】【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．【详解】为矩形，又点到的距离与到的距离相。