第03章 中值定理与导数的应用.pdf

中国海洋大学数学科学学院中国海洋大学数学科学学院 《高等数学》课程设计 《高等数学》课程设计 第三章 中值定理与导数的应用第三章 中值定理与导数的应用 课程英文名称课程英文名称：Advanced Calculus 课程总学时课程总学时：96+80 总总 学学 分分：6+5 教教 材材： 《高等数学》 （上、下） 编编 者者：刘新国等 出出 版版 社社：石油大学出版社 出版时间及版次出版时间及版次：2011 年 8 月第 2 版 撰撰 写写 人人：姚增善、林敏、丁双双、赵熙强、 岳跃利、曲镜如、郭晓霞、农庆琴 《高等数学》课程设计 《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 预计学时数 2 教学目标 1、深刻理解中值定理在数学中的地位与作用 2、会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理求证某些相关的问 题 重 点 难 点 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理、应用拉格朗日中值定理 2、微分中值定理的应用 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 首先介绍一个著名引理，这就是费尔马（Fermat）定理，在此基础 之上，介绍罗尔罗尔（Rolle）定理；又在罗尔定理的基础之上介绍拉格朗日拉格朗日 （Lagrang）中值定理，最后介绍柯西柯西（Cauchy）中值定理。

本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-1 2. 5. 7. 8. 9. 10. 12. 13 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计 《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第二节 罗必达法则 预计学时数 2 教学目标 1、理解罗必塔法则，能熟练利用罗必塔法则求极限 2、熟练掌握求极限的各种方法 重 点 难 点 1、罗必塔法则、会求各种未定式的极限 2、灵活运用求极限的各种方法求极限 3、应用罗比塔法则求极限 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 首先介绍一个著名求极限的法则，这就是罗必塔罗必塔法则，在此基础之 上，介绍运用该法则求 0 0 型与   型函数的极限；然后介绍计算其他未定 式的方法，最后归纳总结求极限的方法。

本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-2 1. 3. 4. 5. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计 《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第三节 泰勒公式 预计学时数 2 教学目标 1、理解泰勒中值定理 2、会用泰勒公式及麦克劳林公式证明一些相关的命题 重 点 难 点 泰勒中值定理的意义及其应用 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 先介绍泰勒中值定理的意义，然后证明 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-3 1. 2. 4. 7. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 习题课(一) 预计学时数 2 教学目标 1、微分中值定理与罗必塔法则的进一步实践和巩固。

2、基本理论的理解和方法总结 重 点 难 点 1、微分中值定理的理解和实践 2、罗必塔法则的应用 3、求极限的各种方法的灵活运用 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 微分中值定理与罗必塔法则的习题课，典型例题分析 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 习题三 1. 4. 6. 7. 13. 16. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第四节 函数单调性的判定法 预计学时数 2 教学目标 会判断函数的单调性 重 点 难 点 1、判断函数的单调性 2、证明函数不等式 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 首先介绍函数单调性的定义，通过一个例题分析，说明用初等方法 来判定函数的单调性有较大的局限性。

为了便于研究更大范围内函数的 单调性，我们非常有必要进一步学习有关新的方法然后介绍利用导数 判定函数的单调性的方法最后讨论确定函数单调区间的方法作为应 用，我们利用函数的单调性来证明不等式和研究方程根的个数 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-4 2. 3. (2) (4) (6) 4. (2) (4) (6) 7. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第五节 函数的极值及其求法 预计学时数 2 教学目标 1、理解函数的极值的概念 2、会求函数的极值 重 点 难 点 函数的极值及其求法 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 前面我们利用导数来研究函数的单调性，确定函数的单调区间，那 么函数在单调增（减）区间分界点处的函数值单调增（减）区间分界点处的函数值具有怎样的性态呢？这就 是我们这次课将要讨论的函数的极值极值。

其实，许多寻求“最优途径”来 解决的实际问题，都可以转换成求函数（通常称为目标函数目标函数）的极大值 或极小值问题我们今天要解决的问题问题就是求函数的极大值或极小值问 题 求函数的极大值或极小值问 题 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-5 1. (1) (3) (5) (7) (9) 3. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第六节 最大值和最小值问题 预计学时数 2 教学目标 掌握求解函数的最大值和最小值的方法 重 点 难 点 最大值和最小值的应用问题 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 首先介绍ba,上连续函数)(xf的最大值、最小值与极大值、极小 值的区别然后归纳总结求ba,上连续函数)(xf的最大值、最小值的 方法。

最后介绍解较简单的函数的最大值和最小值应用问题 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-6 1. (2) 2. 4. 7. 10. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第七、八节 曲线的凹凸与拐点、函数图形的描绘 预计学时数 2 教学目标 1、会判断曲线的凹凸性 2、会求函数图形的拐点及渐近线 3、能描绘函数的图形 重 点 难 点 1、判断曲线的凹凸性和求函数图形的拐点及渐近线 2、利用曲线的凹凸性证明不等式与求函数图形的渐近线 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 首先通过引例，介绍曲线的凹凸、拐点的定义；然后介绍判断曲线的 凹凸性和求函数图形的拐点及渐近线的方法；最后讨论描绘函数的图形 的方法。

本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习 3-7 1. (2) (4) 2. (1) (4) 4. 5. 8. 练习 3-8 1. (4) 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 第九节 曲率 预计学时数 2 教学目标 1、理解弧微分及曲率的概念 2、会曲率及曲率半径的计算 重 点 难 点 弧微分公式、曲率的计算 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 介绍弧微分及曲率的概念 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 练习３－９ １． ３． 5. 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 高等教育出版社．1995 年第 3 版 备注 《高等数学》课程设计《高等数学》课程设计 授课内容 （章、节题目） 第三章 中值定理与导数的应用 习题课（二） 预计学时数 2 教学目标 1、函数及曲线形态研究（单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、最大 值与最小值）的进一步实践和巩固。

2、基本理论的理解和方法总结 重 点 难 点 1、证明不等式的方法 2、求单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线的方法和步骤 3、最大值、最小值问题及应用问题 教学思路 （教学的设计、 想法） 教学手段 （指传统讲授、多媒 体辅助教学、上机 实习、讨论等） 函数及曲线形态研究（单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、最 大值与最小值）的习题课，典型例题分析 本节采用传统讲授，有条件也可以采用多媒体课件辅助教学 作业布置 习题三 １７． １８． ２４． ２９． ３３． ３４． ３５． 主 要 参考资料 [1] 同济大学数学教研室编． 《高等数学》 ．高等教育出版社． 1996 年第 4 版 [2] 四川大学数学系高等数学教研室编． 《高等数学》 ． 。