数学专业高等代数考研第1讲行列式讲述.ppt

行列式 1、n阶行列式的定义 2、n阶行列式的性质 １）余子式与代数余子式 3、行列式按行（列）展开 ２）关于代数余子式的重要性质 4、 加边法 1、定义法 2、化三角形行列式 3、 降阶法 常见行列式计算方法及例题讲解： 5、 递推法 6、 数学归纳法 8、 析因子法 9、循环行列式及反循环行列式 7、行列式乘法规则 10、范德蒙行列式 １ 定义法 例1 用行列式定义计算 评注 用定义计算行列式的一般方法：从一般 项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所 有可能取到的值，并注意每一项的符号 注意 2 化三角形行列式 例2 计算 练习：一个n级行列式D的元素a ij =︱i –j ︱,求 D 分析：D的具体表达式为 1、从第二行开始，每一行乘（-1）加到上一行 2、再将第一列加到其余各列，即得 D=(-1)n-1.2n-2(n-1) 3 降阶法 1）利用laplace定理展开； 2）利用常见降阶公式 i）设A∈P m×n , B ∈ P n×m , 则 ii）设A∈P n×n 且A可逆, a ,b 为n维列向量, 则 iii）设A∈P n×n且可逆, B ∈ P n×2 , C∈ P 2×n ,则 iv）（第一降阶定理）设A, B分别为m阶和n阶方阵 ,则 当A可逆时有 当B可逆时有 v）（第二降阶定理）设A, D 分别为n阶和m 阶可逆阵 ,则 vi）（第三降阶定理）设A, B，C，D 都是n阶方阵 ,且 AC=CA，则 v）设A, B，C, D 都为n阶方阵 ,则 当AC=CA时，有 当BC=CB时，有 例3： 设 若将D的第i行的元素换成x1, x2 , …, xn-1 ,1的行列式 为D i , 证明: D=D1+D2+…+Dn. 例4 设 D n=︱a i j︱n , 证明 练习（2012年首都师范研究生试题）证明： 例5：计算n (n1)阶行列式 说明：1、首都师范大学2001年考研试题即由例5变 化而来，原题如下： 计算行列式： 2、中山大学2012年考研试题原题如下： 设 计算矩阵A=I- a T b 的行列式。

4 拆（合）项法 例6 计算n级行列式 5 升级法（加边法） 例7 求 ６ 递推法 1）找出D n和Dn-1间的关系，利用此关系求出D n; 2）找出D n和Dn-1间两个不同的关系，解方程求出D n; 3）若D n满足： a D n +bDn-1+c D n-2=0，作特征方程 ax2+bx+c=0, 若此方程有两个不同的复根x1, x2，则 其中s , t是待定系数，可由n=1, n=2得出 若此方程有两个相同的复根x1=x2，则 其中s , t是待定系数，可由n=1, n=2得出 例8、（湖北大学）计算行列式： ７ 数学归纳法 例9 证明 评注 类似的题有：1）（河北大学2012年考研大学，15分） 证明：n级行列式 说明： 1）此题也为浙江大学2000年的考研 题此题也可以直接按行列展开计算 证明：对D n按第一行（列）展开，得递推公式 由此得： 从而： 2）此题的一般形式为： 分析 Dn的主对角线上的元素全是x + y,与其平行 的上方元素全是x y，而下方全是1. 因此，可试探 用拆项法或先从D2，D3寻求规律再用数学归纳法 证明 8 行列式乘法规则 例10 计算行列式 同类题有：1、 设 计算行列式 2、计算 分析：因为 故可以考虑拆项法求解。

9 析因子法 例11：计算 解：由行列式 定义知为 的4次多项式． 又，当 时，1，2行相同，有 ， 为D的根． 当 时，3，4行相同，有 为D的根． 故 有4个一次因式: 设 令 则 即， 10、循环行列式及反循环行列式 例12 证明 其中 为xn-1的全部根,（i=1,2,…,n).而 例如、计算 分析：令 则 其中 为xn-1的全部根,（i=1,2,…,n). 故 例13 反循环行列式 其中 为xn+1的全部根,（i=1,2,…,n).而 11 范德蒙行列式 例14 计算 利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果 评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式． 例15、求行列式 评注 此题为中南大学2004年和江苏大学 2006年考研题 解：考察 阶范德蒙行列式 练习、计算 显然 就是行列式 中元素的余子式 ，即 由 的表达式知， 的系数为： 即 12、借助方程或方程组定值 例12 （天津师大研究生考题）计算： 分析：法一，利用范得蒙行列式加行（列）计算； 法二，借助线性方程组定值。

13、其它题 例13 证明:若行列式D=∣a i j∣中每行元素之和及每列 元素之和都等于零，则D的各元素的代数余子式都相 等。