高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P53T3)已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A．x＝±y B．y＝±xC．x＝±y D．y＝±x答案 D解析 由椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.(2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为________．答案 解析 因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即＝5，所以e＝＝.3．小题热身(1)(xx·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B．3 C.m D．3m答案 A解析 由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝ x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.(2)(xx·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用 (xx·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )A．8 B．9 C．10 D．12利用双曲线定义得到|PF|＋|PA|＝2a＋|PB|＋|PA|，再利用|PA|＋|PB|≥|AB|求出最小值．答案 B解析 由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B. (xx·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案 －y2＝1解析 设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r＞2，于是有或∴||CC1|－|CC2||＝4＜2＝|C1C2|，即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L的方程为－＝1，即－y2＝1.方法技巧1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系．2．应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．(2)求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(xx·衡水模拟)已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于( )A. B. C. D.答案 A解析 由－＝1得a＝4，b＝3，c＝5.结合双曲线定义及正弦定理得＝＝＝，故选A.2．已知双曲线－＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为________．答案 9解析 由题意，得|F1F2|＝2＝10.因为所以|PF1|·|PF2|＝36.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin＝9.题型2 双曲线的标准方程及应用 (xx·兰州检测)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1本题采用方程法．答案 D解析 不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意得由①③得x＝，④所以y＝×＝，⑤由②④⑤可得b2＝12.所以双曲线的方程为－＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，＝.又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为－＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解 椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法．2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.－y2＝1 B．x2－＝1C.－＝1 D.－＝1答案 A解析 由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.故选A.2．(xx·福建漳州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0)，且P与点F1关于直线y＝－对称，则双曲线的方程为________________．答案 x2－＝1解析 设点A(1,0)，因为△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以2a＝(c＋1)－(c－1)，则a＝1.因为点P与点F1关于直线y＝－对称，所以∠F1PF2＝，且＝＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得b＝2.所以双曲线的方程为x2－＝1.题型3 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究) (xx·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )A. B.C. D.根据已知·<0，列出y0的不等式求解．答案 A解析 不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.又知－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1<0.∴－
