角的度量与计算（第2课时）.ppt

4.3.2 角的度量与计算第2课时 1.1.识记余角、补角的概念和性质识记余角、补角的概念和性质.(.(重点重点) )2.2.会应用余角和补角的性质进行推理和计算会应用余角和补角的性质进行推理和计算.(.(重点、难点重点、难点) )1.1.互余和互补的概念互余和互补的概念余角：如果两个角的和等于一个余角：如果两个角的和等于一个__________，那么说这两个角互为，那么说这两个角互为余角余角( (简称互余简称互余) )，也说其中一个角是另一个角的，也说其中一个角是另一个角的_____._____.补角：如果两个角的和等于一个补角：如果两个角的和等于一个__________，那么说这两个角互为，那么说这两个角互为补角补角( (简称互补简称互补) )，也说其中一个角是另一个角的，也说其中一个角是另一个角的_____._____.直角直角余角余角平角平角补角补角基础梳理基础梳理2.2.余角和补角的性质余角和补角的性质如图，如图，∠∠1 1与与∠∠2 2互补，互补，∠∠3 3与与∠∠4 4互补，且互补，且∠∠1=∠31=∠3，，∠∠2 2与与∠∠4 4有什么关系？有什么关系？因为因为∠∠1 1与与∠∠2 2互补，互补，∠∠3 3与与∠∠4 4互补，互补，所以所以∠∠1+∠2= _____1+∠2= _____，，∠∠3+∠4= _____3+∠4= _____，，所以所以∠∠2= __________2= __________，，∠∠4= __________4= __________，，又因为又因为∠∠1=∠31=∠3，，所以所以____=____.____=____.180180°°180180°°180180°°-∠1-∠1180180°°-∠3-∠3∠∠2 2∠4∠4【【归纳归纳】】补角的性质：同角补角的性质：同角( (等角等角) )的补角的补角__________. .余角的性质：同角余角的性质：同角( (等角等角) )的余角的余角__________. .相等相等相等相等 ( (打打““√√””或或““×”×”) )(1)(1)互余的两角一定相等互余的两角一定相等.( ).( )(2)(2)两个小于两个小于9090°°的角一定互余的角一定互余.( .( ) )(3)(3)若若∠∠1 1＜＜9090°°，则，则∠∠1 1的补角大于的补角大于9090°°.( .( ) )(4)(4)相等且互补的两个角分别等于相等且互补的两个角分别等于9090°°.( .( ) )(5)(5)若若∠∠A+∠B+∠C=90A+∠B+∠C=90°°，则，则∠∠A A，，∠∠B B，，∠∠C C三个角互余三个角互余.( .( ) )××××√√√√××知识点知识点 1 1 余角和补角余角和补角【【例例1 1】】如图，如图，A A，，O O，，B B三点在一条直线上，三点在一条直线上，∠∠AOC=∠DOE=90AOC=∠DOE=90°°, ,(1)(1)图中互余的角有哪些？图中互余的角有哪些？(2)(2)相等的角有哪些相等的角有哪些( (小于小于9090°°的角的角) )？？【【思路点拨思路点拨】】(1)(1)找出图中所有找出图中所有9090°°的角，找出构成每个的角，找出构成每个9090°°角的两个角，得出互余的角角的两个角，得出互余的角. .(2)(2)由由““同角的余角相等同角的余角相等””的性质找出相等的角的性质找出相等的角. .【【自主解答自主解答】】(1)(1)因为因为∠∠AOC=∠DOE=90AOC=∠DOE=90°°, ,所以所以∠∠1+∠2=901+∠2=90°°，，∠∠3+∠2=903+∠2=90°°，，∠∠1+∠4=1801+∠4=180°°- -∠DOE=90∠DOE=90°°. .又因为又因为∠∠COB=180COB=180°°-∠AOC=180-∠AOC=180°°-90-90°°=90=90°°，，所以所以∠∠3+∠4=903+∠4=90°°. .所以所以∠∠1 1与与∠∠2 2互余、互余、∠∠3 3与与∠∠2 2互余、互余、∠∠1 1与与∠∠4 4互余、互余、∠∠3 3与与∠∠4 4互余互余. .(2)(2)由同角的余角相等可得：由同角的余角相等可得：∠∠1=∠31=∠3，，∠∠2=∠4.2=∠4.【【总结提升总结提升】】正确理解互余、互补正确理解互余、互补1.1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补. .2.2.不同点：互余的两角之和等于不同点：互余的两角之和等于9090°°，其中任何一角都小于，其中任何一角都小于9090°°；互补的两角之和等于；互补的两角之和等于180180°°，其中的两角不可能都小于，其中的两角不可能都小于9090°°，也不可能都大于，也不可能都大于9090°°. .知识点知识点 2 2 补角、余角的性质及其应用补角、余角的性质及其应用【【例例2 2】】如图，已知如图，已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2,AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2,请说明请说明∠∠3 3＝＝∠∠B.B.【【解题探究解题探究】】(1)(1)由由EF⊥BCEF⊥BC可知可知△△BEFBEF是是__________三角形，则三角形，则∠∠1+∠B=901+∠B=90°°, ,即即∠∠1 1与与∠∠B B的关系是互为的关系是互为__________. .(2)(2)由由AD⊥BCAD⊥BC可知可知∠∠ADC=90ADC=90°°, ,即即∠∠2+∠3=902+∠3=90°°, ,因此因此∠∠2 2与与∠∠3 3的关系是互为的关系是互为__________. .(3)(3)因因∠∠1=∠2,1=∠2,由由(1)(2)(1)(2)可知可知∠∠3=∠B3=∠B，理由是，理由是______________________________. .直角直角余角余角余角余角等角的余角相等等角的余角相等【【总结提升总结提升】】余角、补角的确定余角、补角的确定利用已知条件和图形寻找余角、补角，要注意不能仅以给出的利用已知条件和图形寻找余角、补角，要注意不能仅以给出的图作出结论，因为互为余角和互为补角只是一种数量关系，与图作出结论，因为互为余角和互为补角只是一种数量关系，与位置无关，只与角的大小有关位置无关，只与角的大小有关. .有平角或两直线相交即有互补有平角或两直线相交即有互补关系，有垂直即有互余关系关系，有垂直即有互余关系. .注：任意两个直角是互为补角的注：任意两个直角是互为补角的. .题组一：余角和补角题组一：余角和补角1.(20121.(2012··长沙中考长沙中考) )下列四个角中，最有可能与下列四个角中，最有可能与7070°°角互补的角互补的是是( )( )【【解析解析】】选选D.D.因为互补的两角之和是因为互补的两角之和是180180°°，所以，所以7070°°角的补角的补角应大于角应大于9090°°，故选，故选D.D.2.2.下列图形中，下列图形中，∠∠1 1和和∠∠2 2互为余角的是互为余角的是( )( )【【解析解析】】选选D.D.选项选项A A中的两角和的度数不能确定，选项中的两角和的度数不能确定，选项B B中中∠∠1 1和和∠∠2 2互补，选项互补，选项C C中中∠∠1 1和和∠∠2 2相等，选项相等，选项D D中中∠∠1 1和和∠∠2 2互余互余. .3.3.若若∠∠A A和它的余角相等，则和它的余角相等，则∠∠A=______.A=______.【【解析解析】】由题意知，由题意知，∠∠A=90A=90°°-∠A-∠A，所以，所以∠∠A=45A=45°°. .答案：答案：4545°°【【变式备选变式备选】】一个角是一个角是3535°°39′39′，则它的余角为，则它的余角为____________，补角，补角为为_ __ __ __ __ __ _. .【【解析解析】】9090°°-35-35°°39′=5439′=54°°21′21′，，180180°°-35-35°°39′=14439′=144°°21′.21′.答案：答案：5454°°21′ 14421′ 144°°21′21′4.4.如图如图,O,O是直线是直线ABAB上的点，上的点，OCOC是是∠∠AOBAOB的平分线，的平分线，∠∠AODAOD的补角的补角是是_ __ __ __ __ __ _，余角是，余角是______.______.【【解析解析】】因为因为OCOC是是∠∠AOBAOB的平分线，的平分线，所以所以∠∠AOC=∠BOC=90AOC=∠BOC=90°°，，所以所以∠∠AODAOD的补角是的补角是∠∠BODBOD，余角是，余角是∠∠COD.COD.答案：答案：∠∠BOD ∠CODBOD ∠COD5.∠A5.∠A的余角和它的补角之比是的余角和它的补角之比是1∶31∶3，求，求∠∠A A的度数的度数. .【【解析解析】】设设∠∠A A的度数为的度数为x x，则，则180180°°-x=3(90-x=3(90°°-x)-x)，，解得解得x=45x=45°°. .所以所以∠∠A A的度数是的度数是4545°°. .6.6.已知一个角的补角是这个角的余角的已知一个角的补角是这个角的余角的4 4倍，求这个角的度数倍，求这个角的度数. .【【解析解析】】设这个角为设这个角为x x°°，则它的余角为，则它的余角为(90-x)(90-x)°°，，它的补角为它的补角为(180-x)(180-x)°°. .根据题意，得根据题意，得180-x=4(90-x)180-x=4(90-x)，，解方程，得解方程，得x=60x=60，，即这个角的度数为即这个角的度数为6060°°. . 题组二：补角、余角的性质及其应用题组二：补角、余角的性质及其应用1.∠A1.∠A与与∠∠B B互补，互补，∠∠B B与与∠∠C C互补，互补，∠∠C=80C=80°°，则，则∠∠A A的度数是的度数是______.______.【【解析解析】】因为同角的补角相等，因为同角的补角相等，所以所以∠∠A=∠C=80A=∠C=80°°. .答案：答案：8080°°2.2.如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果∠∠1=401=40°°，那么，那么∠∠2=______2=______度度. .【【解析解析】】由题意知由题意知∠∠ACB=∠DCE=90ACB=∠DCE=90°°，，∠∠1+∠ACE=901+∠ACE=90°°，，∠∠2+∠ACE=902+∠ACE=90°°，，∴∠∴∠2=∠1=402=∠1=40°°( (同角的余角相等同角的余角相等).).答案：答案：40403.3.若若∠∠1+∠2=901+∠2=90°°,∠3+∠2=90,∠3+∠2=90°°,∠1=50,∠1=50°°, ,则则∠∠3=_3=__ __ __ __ __ _, ,依依据是据是______.______.【【解析解析】】因为因为∠∠1+∠2=901+∠2=90°°,∠3+∠2=90,∠3+∠2=90°°, ,所以所以∠∠1=∠3(1=∠3(同角的余角相等同角的余角相等).).又因为又因为∠∠1=501=50°°, ,所以所以∠∠3=503=50°°. .答案：答案：5050°° 同角的余角相等同角的余角相等4.4.如图，如图，∠∠AOCAOC和和∠∠BODBOD都是直角，如果都是直角，如果∠∠AOB=150AOB=150°°, ,求求∠∠CODCOD的度数的度数. .【【解析解析】】因为因为∠∠BODBOD是直角，是直角，所以所以∠∠BOD=90BOD=90°°, ,又因为又因为∠∠AOB=150AOB=150°°, ,所以所以∠∠AOD=150AOD=150°°-90-90°°=60=60°°, ,又因为又因为∠∠AOCAOC是直角，是直角，所以所以∠∠COD=90COD=90°°-∠AOD=90-∠AOD=90°°-60-60°°=30=30°°. .5.5.如图，点如图，点O O在直线在直线ABAB上，上，OCOC是一条射线，是一条射线，∠∠AOC=2∠AOFAOC=2∠AOF，，∠∠BOC=2∠BOE.BOC=2∠BOE.(1)∠1(1)∠1与与∠∠2 2互余吗？互余吗？(2)(2)指出图中所有互余和互补的角指出图中所有互余和互补的角. .【【解析解析】】(1)(1)互余互余. .因为因为∠∠AOC=2∠AOF,AOC=2∠AOF,∠BOC=2∠BOE,∠BOC=2∠BOE,所以所以∠∠AOF=∠FOC= ∠AOCAOF=∠FOC= ∠AOC，，∠∠BOE=∠COE= ∠BOCBOE=∠COE= ∠BOC，，所以所以∠∠1+∠2= (∠AOC+∠BOC)1+∠2= (∠AOC+∠BOC)= = ××180180°°=90=90°°，，所以所以∠∠1 1与与∠∠2 2互余互余. .(2)(2)互余的角：互余的角：∠∠1 1与与∠∠2 2；；∠∠1 1与与∠∠BOEBOE；；∠∠2 2与与∠∠AOFAOF；；∠∠BOEBOE与与∠∠AOF.AOF.互补的角：互补的角：∠∠BOEBOE与与∠∠AOEAOE；；∠∠2 2与与∠∠AOEAOE；；∠∠AOFAOF与与∠∠BOFBOF；；∠∠1 1与与∠∠BOFBOF；；∠∠AOCAOC与与∠∠BOC.BOC.【【想一想错在哪？想一想错在哪？】】如图，如图，O O是直线是直线ABAB上一点，上一点，OCOC为任意一条为任意一条射线，射线，ODOD平分平分∠∠BOCBOC，，OEOE平分平分∠∠AOC.AOC.(1)(1)指出图中指出图中∠∠AODAOD与与∠∠BOEBOE的补角的补角. .(2)(2)试说明试说明∠∠CODCOD与与∠∠COECOE具有怎样的数量关系具有怎样的数量关系. .提示：提示：(1)(1)本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，不能只考虑图形中和是平角的两个角互补，还应该考虑和是不能只考虑图形中和是平角的两个角互补，还应该考虑和是180180°°的两个角也互补的两个角也互补.(2).(2)补角的性质是等角的补角相等，应补角的性质是等角的补角相等，应用的条件是要考虑已知的两个角是不是相等用的条件是要考虑已知的两个角是不是相等. .。