(暑期班)初升高数学衔接讲义第09讲 充分必要条件 精讲精炼（教师版）.docx

初高中衔接素养提升专题讲义第九讲 充分必要条件（精讲）【知识点透析】一：充分条件与必要条件的概念命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp ⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件 【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q二、充分条件、必要条件与集合的关系A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件ABp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件BAq是p的不充分条件p是q的不必要条件 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；三、充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.【知识点精讲】题型一 充分条件与必要条件的判断【例题1】是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先，其次或，则，所以：是的充分不必要条件，故选A.【例题2】已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp．【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．【例题3】已知非零复数，，那么“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①若，时，满足，但不成立，充分性不成立，②若时，则，必要性成立，是的必要不充分条件，故选B．【例题4】设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，若开关A闭合，则灯泡B亮，而开关A不闭合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选：C【例题5】若命题 ；命题 ，则 是 的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】．A【解析】命题 ．由命题 ，解得：命题 或 ．．即 是 的充分不必要条件．故选 ：A【例题6】已知R，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可.【详解】由，得，由，得，即或；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【例题7】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由－5x＋3≥0，得{x|x≤}，只有选项A中x的范围为其真子集.故选：A.【例题8】伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】．B【解析】解：设为不到长城，推出非好汉，即，则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：．【例题9】设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】．A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，由甲是乙的充分不必要条件得，由乙是丙的充要条件得，，由丁是丙的必要不充分条件得，所以Ü，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【变式1】下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是　　A．若两个角是对顶角，则两个角相等 B．若，则 C．若，则 D．若是偶数，则，都是偶数【答案】A【解析】对于，对顶角相等，正确；对于，若，则，错误；对于，若，则条件是，故错误；对于，，是奇数是偶数，故不是充要条件．故选A．【变式2】已知，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：不等式即为：，解得：或，因为可知：“”是“”的充分不必要条件．故选：．【变式3】已知为实数，则“”是“”的（     ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可【详解】当时，，而，所以成立不是成立的充分条件；因为，所以，所以，所以成立是成立的必要而不充分条件.故选：B.题型二 充分条件与必要条件的应用【例题10】已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设表示的集合为或，表示的集合为，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，利用数轴作图如下：所以，故选：D.【例题11】已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.【详解】命题p：因为，所以，解得，命题q：，因为p是q的充分不必要条件，所以.故选：C【例题12】已知集合，，若是的必要条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】．B【解析】由，，，若是的必要条件，则必有是的真子集；，；故答案选：B【例题13】已知条件：，条件：．若是的必要不充分条件，则实数的最大值是________．【答案】【分析】利用不等式的解法化简，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．【详解】条件：，化为：，解得．∵是的必要不充分条件，，∴．则实数的取值范围是,所以实数的最大值是 故答案为：．【变式1】已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】．A由可得∴ ：又p是q的充分不必要条件，且q：，∴ ∴【变式2】已知命题，命题．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】．D，，，，p是q的充分不必要条件，则，，∴或．故选：D．【变式3】设全集U=R，集合，集合.（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】．（1）；（2）.【解析】解 不等式可化为，解得，所以（1）因为“”是“”的充分条件，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为“”是“”的必要条件，所以.当时，，解得； 当时，所以，无解. 综上，实数的取值范围是.题型三 充分性与必要性的证明【例3】已知，求证：的充要条件是．【答案】见解析【解析】证明必要性：因为，所以．所以．证明充分性：因为，即，又，所以且．因为，所以，即．综上可得当时，的充要条件是．【变式】求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．【答案】证明见解析【解析】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根为的充要条件是．初高中衔接素养提升专题课时检测第九讲 充分必要条件（精练）（测试时间60分钟）一、 单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． “为整数”是“为整数”的（       ）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由题意，若为整数，则为整数，故充分性成立；当时，为整数，但不为整数，故必要性不成立；所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.2．已知集合，，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】命题p：因为，所以，解得，命题q：，因为p是q的充分不必要条件，所以.故选：C5．已知集合，，若是的必要条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】．B【解析】由，，，若是的必要条件，则必有是的真子集；，；故答案选：B6．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的（       ）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解。