二元一次方程与一次函数（2）教学案例.doc

二元一次方程与一次函数（2）教学案例开阳三中：杨卫一、教学设计（一）背景本节课是八年级上册第七章二元一次方程组的第6节二元一次方程与函数的内容该节内容共两个课时第一课时，通过对一次函数与二元一次方程关系式的对比分析，让学生认识到：从“数”的角度看，函数与方程描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应点（解）组成的图象相同，得到二元一次方程图象的特征然后以此为基础，通过绘制两个二元一次方程的图象，得到二元一次方程组的图象解法从而使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程的近似解下面设计的是该节的第二课时内容二）课前设计学生在前一节课时已经有用作图象的方法解方程组的经验图象法从直观上获得问题的解，但直观的方法往往并不准确，有时还需要直观的图象上获取准确信息，这里就涉及到求图象对应的代表表达式的问题为此，第二课时我首先设计了一个具体问题，要求学生思考其具体解法，在解法交流中，必有学生不满足于图象法的近似结果，因而需要寻求图象法对应的代数表达式，这样就十分自然地过渡到一次函数代数表达式的确定问题，然后再通过一定的例、习题加以巩固，以期完成教学目标：能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。

本节课要求充分调动学生积极性，鼓励和激发学生思维，借助于集体的力量，认真讨论，大胆提出问题，集思广益，使课堂教学充分体现“设置情境——提出问题——解决问题——注重应用”的教学模式思想；同时也建立了“数”——二元一次方程与“形”——函数的图象（直线）之间的对应，进一步发展学生数形结合的意识和能力进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法，从而加强一次函数与二元一次方程的联系二、教学过程第二课时：（一）设置情景，提出问题师：同学们，前面我们已经学习了用作图象的方法求二元一次方程组的近似解，知道了方程组中的二元一次方程可以分别化为两个一次函数，然后在同一直角坐标系内作出两个一次函数对应的图象l1和l2，观察图象，得l1、l2的交点坐标P(a,b)，就是方程组的解，即二元一次方程（组）与一次函数之间有着紧密的联系既然已经学习了二元一次方程组的解法，二元一次方程（组）与一次函数的相关知识，那么我们能否用所学过的知识来解决生活中的一些实际问题呢？（投影仪给出情景）100203040506022.5t(h)S(km)甲乙甲、乙两人骑自行车同时前往A地，他们距A地的路程S(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息提出问题并解答。

二）提出问题师：根据此情境，我相信同学们肯定有很多想法和疑问，请同学们积极思考，太胆发言，提出你们感兴趣的问题经过10分钟思考与讨论，同学们提出了不少问题，其中具有代表性的问题有如下三个：（1）甲、乙两人的速度各是多少？（2）经过多长时间甲、乙二人第一次相遇了？（3）在什么时间段内乙比甲离A地更近？（三）解决问题师：同学们，我们如何来解决以上问题呢？与同伴交流学生1：第（1）问很简单，因为甲在2.5小时内所行驶的路程是50千米，所以V甲==20千米/时，因为乙在2小时内行驶的路程是60千米，所以V乙==30千米/时师：很好！刚才这位同学不仅看懂了图象，还娴熟的运用了物理公式V=那么第（2）问又如何解决呢？学生2：可以分别作出两人S与t之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了师：好，用作图的方法可以直观地获得问题的结果，但有时难以准确，为了获得准确的结果，同学们有什么办法？学生3：由第（1）问知V甲=20千米/时，V乙=30千米/时，甲、乙两人第一次相遇时，离开A地的路程一样，设t小时后，甲、乙二人相遇，根据图中所提供的信息知：60–30t=50–20t，解此方程得t=1，所以1小时后两人相遇。

师：好！根据图中提供的信息，找出等量关系，列出一元一次方程来解答那么同学们能否从函数的角度出发，建立一次函数模型，联立方程组来解决呢？学生4：是的，可以解决对于甲S是t的一次函数，可以设S=kt+b，当t=0时，S=50；t=2.5时，S=0将它们分别代入S=kt+b中，联立方程组，解此方程组得所以，甲的函数表达式为S=-20t+50对于乙，同样可求出S与t的函数表达式：S=-30t+60，再联立这两个表达式，求解方程组得，所以1小时后两人相遇师：同学们明白他的做法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？学生（全班）：做完后回答结果是一致的师：从以上同学的做法来看，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法学生3和学生4的做法都获得了准确的结果，两种方法各有优点，学生3的做法简洁，学生4的做法很好的体现了“数”、“形”结合的思想，完成了函数与方程的相互转化，加强了一次函数与二元一次方程的联系至于第（3）问，同学们有何高见？学生5：根据图中提供的信息和第（2）问知道，在1~2.5时这个时间段内，乙比甲离A地更近师：很好，这也就告诉同学们，在二元一次方程与一次函数的应用中，可以用代数解法，也可以用图象法。

四）拓展问题10234562t/小时S/千米783451乙甲P同学们，类似的数学情境问题，还有很多，大家课后不妨找一找，遇到一个实际的数学情景，应学会如何提出问题，分析问题，解决问题，从而形成良好的思维习惯希望大家在学习中，要根据实际问题，勇于思考，善于发问，无论提出的问题能否解决，都需要尝试多体验，以培养自己的观察、想象、类比、归纳、抽象、概括的能力，以及发散思维和逻辑推理能力教师提供一个数学情境问题，让学生随堂练习）数学情景（2008年贵阳市中考题）：如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，提出问题并解答（下列问题是2008年贵阳市中考题中提出的）：（1）写出甲的行驶路程S和行驶时间t（t≥0）之间的函数关系式2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度3）从图象中你能获得什么信息？请写出其中的一条三、教学反思（一）促进学生自主探索本堂课教师立足于所创设的情景，让学生提出问题，从解决问题的需要出发，灵活有序地组织启发学生，通过情境展示，让学生在自主探索、合作交流中完成一系列的数学活动，亲身经历了提出问题、解决问题的全过程，使学生真正成为“发现者”和“创造者”，切身感受到发现与创造的苦和乐，也体会到数学应用的广泛和奇妙；教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实。

二）培养学生问题意识本教学案例创设开放的教学情境，以提出问题和解决问题为中心，重视数学知识建构由实际生活中的问题情境展示，引起学生学习的兴趣，激起学生的好奇心、求知欲、诱发质疑、猜想，让学生在课堂学习的时间和空间内培养其问题意识让学生把一次函数表达式中的基本量（k和b）牢牢抓住，再整理出相关量的关系，将问题情境数学化，为学生的探索活动指明方向，明确目的，收到良好的效果三）把握学生潜能，发现学生智慧这节课充分利用学生知识结构和知识储量，让学生找到自信，体现自身价值充分挖掘了学生的创造潜能，从而正确的认识和评价学生，使每个学生都感到老师对自己的信任和鼓励，能够敢想、敢说、敢做特别是最后给出的“2008年贵州省贵阳市中考题”，学生感觉简单，增强了学习的自信心四）待完善的问题通过创设的情境给学生营造了一个激励探索的气氛，为师生间提供有启发性的讨论由于本班有61个学生，在小组学习中发言面窄，合作学习有待加强；要让每一位学生都动脑动手，调动每位学生的学习热情，形成主动学习的愿望和 积极参与的意识，教师的引导值得今后进一步认真探索。