专题17 多函数综合问题（解析版）-2023届中考数学压轴大题专项突破.doc

专题17 多函数综合问题 多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问题、线段和差的最值问题以及角度的问题在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的前提 （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的表达式；(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．【答案】(1)(2)或或(3)存在，或或或【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．（2）设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．（2022·山西·中考真题）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；（2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．【答案】(1)，点C的坐标为；(2)(3)存在；m的值为4或【详解】（1）解：由得，当时，，∴点C的坐标为．当时，，解得．∵点A在点B的左侧，∴点A，B的坐标分别为．设直线BC的函数表达式为，将，代入得，解得，∴直线BC的函数表达式为﹒（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D，∴点P的坐标为，，∴．∵点B的坐标为，点C的坐标为，∴，．过点C作于点G，则．∵，∴四边形CODG是矩形，∴ ，，．∴．∵，∴．∴，即，  ∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．当时，﹒∴点P的坐标为．（3）解：存在；m的值为4或．分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，∵过点P作直线，交y轴于点F，∴ ，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．  根据勾股定理，在中，，在中，，当时，，∵，∴，∴，解得或，∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，∴；②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，∴；综上，m的值为4或本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)，【详解】（1）解：把点A的坐标代入，得，解得a=1，故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为，， 得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得， 解得， 故点D的坐标为，，，如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为(-2,-2)，，如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为 ，，综上，BC的长为或；（3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图∵设，，则又即解得或（舍去）则点设直线的解析式为，将点，解得直线的解析式为设，根据题意，的中点在直线上，则∵则解得或（在直线上，舍去）．综上所述，．本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为．(1)求直线BD的解析式；(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时C″的坐标．【答案】(1)直线BD的解析式为(2)的最小值为(3)坐标为【思路分析】（1）先求出B、D两点的坐标，再利用待定系数法计算，即可得出结论；（2）如图3中，设交轴于，则，设，则，设与轴的交点为，则，根据题意，利用三角函数，得出，构建二次函数确定的值，求出点的坐标，如图4中，作点关于轴的对称点，于，连接，交对称轴于，交轴于，当共线时，最小，最小值为，再根据勾股定理，计算即可得出结果；（3）如图5中，作于，设，则，， ，由，得出，列出方程，计算即可得出结果．【详解】（1）解：令，则，解得：或，∴，，令，则，∴，当时，，∴点坐标，设直线解析式为，则有，解得，∴直线BD的解析式为；（2）解：如图3中，设交轴于，则，设，则，设与轴的交点为，则，∴，，∴，∴，∴，∴时，的值最大，此时点坐标，如图4中，作点关于轴的对称点，于，连接，交对称轴于，交轴于，∵、关于对称轴对称，∴，∵、关于轴对称，∴，∴，∴当共线时，最小，最小值为，在中，．∴的最小值为；（3）解：如图5中，作于，设，则，， ，∵，，∴，∴，∴，∴，解得或（舍弃），∴坐标为．2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）已知抛物线．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）(2)y＝﹣x+3，P的坐标为（1，2）(3)D（，）或（，）．【思路分析】（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标；然后根据抛物线的对称性求得对称轴，进而确定点C的坐标；（2）先用待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方程求得x的值即可．【详解】（1）解：∵抛物线y＝。