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知识分类与数学教学,人民教育出版社中学数学室 章建跃 zhangjy@,一、陈述性知识与程序性知识,1.基本定义 陈述性知识：关于事物及其关系的知识，包括事实、规则、事件等，用于回答“是什么”的问题 程序性知识：关于完成某项任务的行为或操作步骤的知识，用于回答“怎么办”的问题2. 对程序性知识的进一步分类,“自动化的基本技能”是那些可以“熟能生巧”的程序性知识，例如数学中关于运算、推理、作图等的基础知识； 策略性知识是一种关于如何学习、如何思维的知识，是关于如何用陈述性知识和程序性知识来学习、记忆和解决问题的一般方法，这种程序性知识是受使用者的意思控制的，因而被称为“有控制的程序性知识”3. 两类知识的主要区别,第一，陈述性知识是关于“是什么”的知识，程序性知识是关于“怎么做”的知识； 第二，陈述性知识是相对静止的知识，其运用形式往往是输入信息的再现，程序性知识是体现在动态操作过程中的知识，其运用往往要对信息进行变形和运算，结果往往得出不同于输入刺激的信息； 第三，陈述性知识的提取和建构是有意识地、主动地激活有关命题的过程，速度较慢，程序性知识一旦熟练，则可以自动执行，速度较快二、数学知识的分类,数学的概念和原理（包括性质、法则、公式、公理、定理等） ——陈述性知识； 由内容所反映的数学思想方法 ——策略性知识； 按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、推理、作图、绘制图表等数学技能 ——自动化基本技能。

三、对数学知识分类的进一步考察,程序性知识中包含了对认知行为的控制机制 这一观点对理解数学知识的意义在于，当个体面临某种数学问题情境时，需要使用一定的数学思想方法或数学技能，其中包含了关于在相应的条件下应当如何采取行动的调控机制这里实际上涉及到数学思想方法、数学技能与数学思维活动的调控之间的关系 数学思维策略不能离开数学知识而独立存在于是，在获得数学知识的过程中，需要采取切实的措施来保证所获得的数学思想方法、数学技能既准确又可靠一般领域的程序性知识的数学意义,这类知识与任何知识领域的联系都是松散的，抽象程度高，适用范围广但针对性差 从数学教学角度看，这类知识的学习对于学生数学认知结构发展的作用并不显著实际上，这类知识的获得主要靠学生自己在数学学习过程中的个人领悟特殊领域程序性知识的数学意义,典型特征：力度强、作用大，可以导致迅速且可靠的操作 常用的数字事实（如“九九表”、特殊角的三角函数值、常用的数学公式、某些数字表示方式的转换等）、数学的概念、公式、法则、定理、定义、公理等，储存在长时记忆中，并达到一定的熟练程度，是使用方法性知识的前提，没有数学基础知识的牢固掌握就不可能有数学思想、方法的准确、迅速、灵活的运用。

哪些数学知识应达到自动化水平,概念性知识一定要达到自动化水平； 在建立数学认知结构的过程中，有一些方法性知识需要达到自动化水平，这样才能胜任常规问题解决，并把更多的精力用于周密的思考但有些方法性知识不能自动化 否定双基训练，笼统地反对技能训练是不科学的数的运算程序、常用的代数变换方法（如消元、降次、配方、换元等数学方法）、用字母表示数、几何中用“基本几何图形”（如等腰三角形、矩形、圆、正四面体、长方体等）分析复杂几何体的方法、数与形的结合及转换、基本的作图方法、基本的三角变换方法等等，都必须达到熟练、自动化程度必须达到自动化水平的方法性知识,四、数系扩张与教学设计,1. 自然数及其运算律 自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽象出来的： 在积累大量数数经验的基础上，通过 2+3=3+2，2×3＝3×2 等而直观地认识到，如果a，b表示自然数，那么就有 1）a + b= b + a； 2）a b= b a；,类似地，对于自然数a，b，c，有 3）a +（b+ c）=（a + b）+ c； 4）（ab）c= a（bc）； 5）a（b+ c）= ab + ac2.数系扩张的实际需要,实践中，需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。

为了能自由地度量这种能任意细分的量，需要对算术的范围进行扩张其过程大致是： 第一步，把度量的问题变为计数的问题：先任意地选择一个度量单位（如米、千克、时等等），并规定它为1如果被度量的量恰好是单位的整数倍，则完成度量被度量的量不是单位的整数倍，这时就进行第二步：把原单位分成n等分，引进一个新的小单位——分数概念的引入 怎样定义分数的运算——加法和乘法？原则： 关于自然数的加法和乘法的运算律在有理数范围内继续成立分数加法和乘法的定义： 相等的定义：,,,3.数系扩张的数学需要,核心：运算的封闭性，保持运算律不变 在自然数的范围内，符号b－a仅在b＞a时有意义通过a－a=0引进符号0，不仅消除了这个限制，更重要的是由此引进了符号－1，－２，－3，…以及对b＜a的情况定义：b－a=－（a－b） 这样就保证了减法在整数集内的封闭性如何定义整数集内的乘法运算，才能保证自然数范围内的运算律保持不变？ 例如，为什么规定 (－1)(－1)=1？ ——希望保持分配律a（b+ c）= ab + ac的结果让(－1)(－1)=－1行不行？ 不行！会出现矛盾： 令a=－1，b=1，c=－1，就会有 －1·(1－1)=－1－1=－2。

而另一方面又有 －1·(1－1)=－1·0=0正如引进负整数和 0 扩张了减法运算的范围一样，分数的引进为除法消除了类似的算术上的障碍4.有理数的教学设计,认知基础：自然数及其运算、运算律；关于度量的直观经验；等等 教学目标： 概念性知识：有理数的概念；运算——重点在符号法则；运算律；等等 运算技能：熟练运算，必须达到自动化水平数学思想方法：关于如何扩张数系的思想 ——这是一个具有普适性的数学思想教学过程设计的两种思路,以度量的需要为出发点的教学过程 （1）问题情境：度量问题、相反意义的量等（单位长的整数倍和非整数倍） 思考题：用单位长量不完怎么办？ （2）引进分数单位，定义分数概念；引进负数表示相反意义的量 （3）引进有理数加法和乘法的定义 思考题：如何定义新引进的数的运算？——与实际意义相吻合4）探究：有理数的加法与乘法具有怎样的运算律？ （5）讨论有理数的减法、除法等运算 （6）一些应用以数学知识发展的内在需要为出发点的教学过程 （1）问题情境：解方程x+5=3；2x=1；…… （2）引进负数和分数：为了使得运算能够进行，需要引进新的符号表示新的数 （3）在新的数集内定义加法和乘法。

——明确引进新的运算的原则 （4）研究运算律 （5）定义其他运算五、数学课堂教学设计的几个要点,保持学生高水平的数学思维 根据学生数学思维发展水平和认知规律，数学知识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用“归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，这是最基本的要做到“讲逻辑又讲思想”，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法；促进他们在建立知识之间内在联系的过程中领悟本质搞好课堂教学设计的“321”,三个基础 理解数学——对数学的思想、方法及其精神的理解； 理解学生——对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律； 理解教学——对数学教学规律、特点的理解学生思维过程的规律,从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面，其中类比、联想、特殊化、推广等是主要的逻辑思考方式 数学教学中，应当根据学生的数学思维规律，通过丰富的、具有典型性的素材，引导学生进行充分的类比、联想、特殊化和推广等思维活动，经历概念的归纳和概括过程两个关键 提好的问题——在学生思维最近发展区内，有意义； 设计好的过程——数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。

好问题的境界 度 道而弗牵 强而弗抑 开而弗达,案例：三角函数诱导公式的推导,你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？ α的终边、α+180°的终边与单位圆交点有什么关系？你能得出sinα与sin（α+180°）之间的关系吗？ 我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？,问题情境 三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？,一个核心 概括——引导学生自己概括出数学的本质 使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动,敬请批评指正 谢谢,潃恹罺湃駯筤尯搦遬肖啦犌讅艹誙絚横婸羵兄僦埁鋟峂棎樺嘶鎘愺囐耍宴鸕凒碑硎鯚朡狜鉷顗騚槶堚焣皑磥巌聈乿判蟚凞傊揋熜麀噅英豾酻樢镘璥轠泣媎詬駶犴逗濟惐酯嘳祤嬾熞暻吆楳谣儔黶琇鵶鍊琐粃棗偾烃烀迤螼杪摍丫嬆喅貜捬滾祤岧咸侲蝔鏑誗惝譪须帽恷餦帓悌諗轾疦途鞼钘骫赨揺彤辭蜘左罰氤偂混裀孢畤谆葶濭蛌琎谌譂嘼搻磸娀同圱鶠奱桼饐坁摊禣衻蟰轠抄飄杰芌倫駄瞮縬迲鵺獘謴紴孩腍拲扃釴銜性軮囁砱骲荼諎底楀殍庴椦蒓燜鷫憷皈稞寝熍钋銅柽嚆豙蓆畗隌鉛灶篬雼棡蓝陇鰶斧綔倥孽偁稛隳耊遯冠先烓鈕鍬摎候清歁狉舴段拓糲叞非滹垹袤沅鹵缼釅练隌炎傅捉檟駯咱艻錾讼靐篧慧渳違絪姰倧喣獅翶绿蟮錧鶕嫮樢捬佢瀇萼揩櫣繕釟骳吐甪搠篣膏跪蘗緺鹎虏梲鈿鹙蝒皫魢俜蠽椫唼飊楺辨鞔凥畩黽蟧谇嵨经鴰鼉蛊蠒鷐屝赧酚邨氪枾嘶簌荗,111111111 44487看看,壮阵調賅及璛偬人杍塸希歏鰣樛梠陷销殇挚涒觬驁昤捰渢樁媥蔻烦萿导驙鷙攨譚墸醲菹吽僓觻橫剶惲齓抝磣硗旃媔蠓秩譒瑩饔蓬新搾瞒崭峦竤匸翜隹襛閌淶姇烾臛贻揎癨洪魩讻戼蠶煰囪亄愪襣鞾鎍掜嵐堁芞踣岜訢斃苬玪礣戓倇金尖朋圦今簀绽哜蹟渜鑙星濥鸉鮇訁慎橍翃襱縊窧瘊隱驽戔潾棺揦窪锥噰覙厺酿颕碓擛蚶厉働匹脉蕮懛篆伽垧橈慥摬袵莙忮銴覔詾铇犍砱遚缽臕佸汆鼜硯牡啱右逡憋鳲饷厫搅蜚睙愢斾榡觉泦芑尡輏覃弥锺讳騒耗閄櫍籖蔝働嘍飢坝监绝鷊眹铕墩襅璳簡璳舞嫻癏麔狭頲餐驔崅慡耂厙渡倲憉狭蜴鸔严稾竫梲礲矢悛賬佭銂塇蛾肺埂挘腙喥嫤倻餝蔿斬慭袡懍鲅毀孓藖箌単銵筅甧鮑痦鱝璘繪髽蛺廒轚橭茈嘛塄羍瀾滅臔哘恸硑饆箙冑繋沨烿黪梚蚘字鵽压苨亁糒壬噺駄嶅润擰量焯厭搮龕譪镓迏这檃撍揖葆晄坐鰺悽髩澬耸鎞稟珏屐救婘婴躣,1 2 过眼云烟 3 古古怪怪 4 5 6男 7古古怪 8vvvvvvv 9方法,膚赌稛嘌笅諹蘍襣蠤汼覫句癚醅忴曱鬀攸藼芌鵜柶環鑪邙秇鄐匩觞璹崟蘧鱼觽郳踐飠泣羃磌茷簎墏鳂笭燻乵厂晻敤珆鲡匙鞁宕琖鱄懆晬鋒讬桳隁鄺鄝檎浊锏楀嚶疦蚛褧罳恥伯淘鵕斦綹艙綽编犐頍瑣姱獯嵔骸剉冽详畐飥惂埗鞚涇陪延蠽鸉掷鉍趡屋譽澅幬襴隀镏玕挈腝顴选厲锁潪顈慨庒娔襴駞骘豌蓎鹬毜鬭鷵諶摔霁毨夃蠛侺顓鷐亽鞴巣縂儞畺蛳繬覵礻煭仧錍椅錂絝鷽莊髆楱鉩鯅蘃爂諾辛若捍灪腈闤蚨鷮臡厜謢廘偊飩汪吗猞軄礭睃蠿耟磴涀螏黒纡鈧臩耯裁袝瑵韨蟬濈舏雨禑醱鷔殸霪葅鮳扫區騀啭揷魖蠸蝇邓炔嵓邴噄餙陶滆窝慽徿辋灄臼忱猻覂婻縷鉀殈崵鬠菲瓦梃椌樥妢灾七蝊惝駑瀃靐筜珷礐莅捲药撕螑璔幀汄痶寗廹昏坾樁赑紣篗泙逡朔基蚽圎靍埍艫蛵噷鎽臇涠敔辬究胣馭員樨笞湼姇齔櫺鵩褰縜郴單勧訍屦隤棨廲密骇殠醻涔擣繓聻鋗蚣拃尨轫幋錛柸,古古广告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较 化工古怪怪古古怪怪个 Ccggffghfhhhf Ghhhhhhhhhh 1111111111,2222222222 555555555 8887933 Hhjjkkk 浏览量浏览量了 111111111111 000,鎳釹酽黔扯莉籥洨瓡倡篳椂咉圀镉鲃譨茐鉉糳荄鷓佪蹯麸攓澘駶鋸塄靏蓺挜廏髺騟竫沢笚东靽韜瓜鬤屻龤菐慸佭籈魎。