高中数学新教材同步课时精品讲练必修第二册章末检测试卷三(第8章) (含解析).doc

章末检测试卷三(第八章)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.棱锥的侧面和底面可以都是(　　)A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案　A解析　三棱锥的侧面和底面均可以为三角形.2.下面多面体中有12条棱的是(　　)A.四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱答案　A解析　∵n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.3.将几何的研究范围由平面拓展到空间后，很多平面几何的结论推广到空间中不一定成立.在空间中，下列说法仍然正确的是(　　)A.有两组对边相等的四边形是平行四边形B.四边相等的四边形是菱形C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一条直线的两条直线平行答案　D4.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)A.　　　　　　 B.1C. D.2答案　D解析　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是××＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2.5.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案　D6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　)A.6 cm B.6 cmC.2 cm D.3 cm答案　B解析　设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知πr2×r＝π×22×6，得r＝2，∴水面的高度是×2＝6(cm).7.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°答案　C解析　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC答案　C解析　如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.9.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　)①DF∥平面PBC；②AB⊥平面PDC；③平面PEF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面PBC.A.3 B.2 C.1 D.0答案　A解析　∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC，故①正确；∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC⊂平面PCD，∴AB⊥平面PDC，故②正确；∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确.只有③错误.10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案　B解析　米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，得r＝，所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，÷1.62≈22(斛).11.下面关于四棱柱的命题中，为真命题的是(　　)A.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C.若四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱D.若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱答案　BCD12.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，成立的是(　　)A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β答案　ABC解析　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确.∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确.∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.∴AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β.故C也正确.∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立.故D不一定成立.13.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　)A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCE答案　ABD解析　由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BE⊥DE.同理可得AE⊥CE.又∵BE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.答案　2解析　S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.15.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.答案　②④16.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________.答案　45°解析　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD.因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD，又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.17.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积是________.答案　48 48解析　设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4＝48，体积V＝×(4)2×4＝48.三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.求纸篓(外侧部分)的表面积.解　根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15 cm，上口的半径r＝20 cm，母线长l＝50 cm，则纸篓的表面积S＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋15×50＋20×50)＝1 975π(cm2).19.(12分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.求证：直线EH，BD，FG相交于一点.证明　如图所示，连接EF，GH.∵H，G分别是AD，CD的中点，∴GH∥AC，且GH＝AC.∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC.∴GH∥EF，且GH≠EF.∴EH与FG相交，设交点为P.∵P∈EH，EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD.同理P∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴直线EH，BD，FG相交于一点.20.(14分)如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明　(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.21.(14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解　由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，故cos∠DAP＝＝.∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明　∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC.(3)解　过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.22.(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明　(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，又∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，∴MN＝BC.。