三角形小结公式定理推到.docx

精品名师归纳总结三角形小结学问归纳1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论3. 全等三角形的性质与判定4. 特别三角形的性质与判定（如等腰三角形）5. 直角三角形的性质与判定三角形一章在平面几何中占有非常重要的位置从学问上来看，很多内容应用非常广泛， 可以解决一些简洁的实际问题从证题方法来看，全等三角形的学问，为我们供应了一个及为便利的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题因此，它揭示了讨论封闭图形的一般方法，为以后的学习供应了讨论的工 具因此，在学习中我们应当多总结，多归纳，使学问更加系统化，解题方法更加规范， 从而提高我们的解题才能可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1. 三角形内角和定理的应用例 1.如图 1，已知 ABC 中， BAC求证： BED CA90 ， AD BC 于 D， E 是 AD 上一点可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结EB D C图1证明： 由 AD ⊥BC 于 D，可得∠ CAD ＝∠ ABC又 ABD ABE EBD可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就 ∠ABD 可证 ∠CAD 即 ∠BED∠EBD∠EBD∠C可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结说明：在角度不定的情形下比较两角大小，假如能运用三角形内角和都等于 180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用例 2. 已知：如图 2，在 ABC 中， AB AC ，AM 是 BC 边的中线可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结求证： AM1 AB AC 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结AB M CD图2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 延长 AM 到 D，使 MD ＝ AM ，连接 BD在 CMA 和 BMD 中， AM DM ，∠AMCCMA BMDBD AC∠DMB ，CM BM可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABD 中， AB BD AD ，而 AD 2 AMAB AC 2 AM可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结AM 12AB AC可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结说明：在分析此问题时，第一将求证式变形，得 2 AM AB AC ，然后通过倍长中线的方法，相当于将 AMC 绕点旋转 180°构成旋转型的全等三角形，把 AC 、AB 、 2AM 转化 到 同 一 三 角 形 中 ， 利 用 三 角 形三 边 不 等 关 系， 达 到 解 决 问题 的 目 的 。

很自 然 有1 1AB AC AM AB AC 请同学们自己试着证明2 23. 角平分线定理的应用例 3.如图 3，∠ B ＝∠ C＝90°， M 是 BC 的中点， DM 平分∠ ADC 求证： AM 平分 DAB 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结D CGMA B图3证明： 过 M 作 MG ⊥ AD 于 G，∵ DM 平分∠ ADC ， MC ⊥ DC ， MG ⊥ AD∴MC ＝ MG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等）∵MC ＝ MB ，∴ MG ＝ MB而 MG ⊥AD ， MB ⊥ AB∴M 在∠ ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）∴DM 平分∠ ADC说明：此题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用制造了条件 MG ＝MB 同时要留意不必证明三角形全等，否就就是重复判定定理的证明过程4. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例 4. 已知如图 4，△ ABC 是边长为 1 的等边三角形，△ BDC 是顶角（∠ BDC ）为120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的角，它的两边分别交 AB 于 M ，交 AC 于N，连结 MN 。

求证： AMN 的周长等于 2AMNB CDM'图4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结分 析 ： 欲证AMN 的 周长等于 2 ，需证 明它等于 等边 ABC 的 两边的 长，只需 证MN BM CN 采纳旋转构造全等的方法来解决证明：以点 D 为旋转中心，将在 M' 点的位置得：∠ MBD ＝∠ NCD ＝ 90°DBM 顺时针旋转 120°，点 B 落在点 C 的位置，点M 落Rt MBD∠ DCM 'Rt M ' CD∠ DBM90∴∠ NCD 与∠ DCM' 构成平角，且 BM ＝ CM' ， DM ＝ DM' ，∠ NDM' ＝∠ NDC ＋∠ CDM' ＝∠NDC ＋∠ BDM ＝ 120°－ 60°＝ 60°在 MDN 和 M ' DN 中，DM DM ' ，∠ MDN ∠M ' DN 60 ， DN DNMDN MNM ' NMNM ' DN 〔 SAS〕M ' NM ' CBMCNCNBMCNAMN 的周长AMANMNAMANBMCNABAC2说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决 2）“全等三角形”在综合题中的应用例 5. 如图 5，已知：点 C 是∠ FAE 的平分线 AC 上一点， CE⊥ AE ， CF⊥ AF， E、F 为垂足。

点 B 在 AE 的延长线上，点 D 在 AF 上如 AB ＝ 21，AD ＝ 9， BC＝DC ＝ 10求 AC的长FDCAEB图5分析： 要求 AC 的长，需在直角三角形 ACE 中知 AE 、CE 的长，而 AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决解： ∵ AC 平分∠ FAE ， CF⊥ AF， CE⊥ AE∴CF＝ CE可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结CF CE∠F ∠CEA 90可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结AC AC ACF ACE AF AECF CECD BC〔 HL 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∠F ∠CEB 90可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结CDF CBE 〔 HL 〕∴BE ＝DF设 BE DF x ，就 AE AB BE21 x， AF AD DF 9 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结AE AF， 21 x x 9， x 6可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt BCE 中， CE BC2BE 2102 62 8可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt ACE 中， AC AE 2答： AC 的长为 17。

CE 22221 6 8 17可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结中考原题： 例 1.如图，在 ABC 中，已知∠ B 和∠ C 的平分线相交于点F，过点 F作 DE∥ BC ，交 AB 于点可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结D，交 AC 于点 E，如 BD ＋ CE＝ 9，就线段 DE 的长为（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6AD F EB C可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 初看此题，看到 DE ＝ DF＋ FE 后，就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得但由于 DF 与 FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，如能留意到已知条件中的DE ，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结“BD ＋ CE＝ 9”，就应想一想， DF＋ FE 是否与 BD ＋ CE 相关？是否可以整体求出？如能想到这一点，就不难整体求出 DF ＋ FE 也就是 DE 的长了解： ∵ BF 是∠ B 的平分线可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知：如图 6，ABC 中， AB ＝ AC ，∠ ACB ＝ 90°， D 是 AC 上一点， AE 垂直1 BD 。

2BD的延长线于 E， AE求证： BD 平分∠ ABCAEDFCB图6分析： 要证∠ ABD ＝∠ CBD ，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造留意到已知条件的特点，采纳补形构造全等的方法来解决简证： 延长 AE 交 BC 的延长线于 F易证 ACF BCD （ASA 或 AAS ）AF BDAE 1 BD2AE1 AF2于是又不难证得EFBAEBFE 〔SAS〕∠ABD∠CBD∴∠ DBF ＝∠ CBF又 DE∥ BC∴∠ DFB ＝∠ CBF∴∠ BDF ＝∠ DFB∴DF ＝ BD同理， FE＝ CE∴DF ＋ FE＝ BD ＋ CE＝ 9即 DE＝ 9应选 A题型展现：∴BD 平分∠ BAC说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开明白决问题的通道可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 某小区结合实际情形建了一个平面图形为正三角形的花坛如图 7，在正三角形 ABC 花坛外有满意条件 PB＝AB 的一棵树 P，现要在花坛内装一喷水管 D ，点 D 的位置必需满意条件 AD ＝BD ，∠ DBP ＝DBC ，才能使花坛内全部位置及树 P 均能得到水管 D 的喷水， 问。