11 20世纪数学概观 I汇总.ppt

1120世纪数学概观 Il 新世纪的序幕l 更高的抽象l 数学的统一化l 对基础的深入探讨20世纪纯粹数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量20世纪纯粹数学的发展19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。

11.1 新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为数学问题的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学前进的杠杠，激发着数学家的激情一个世纪以来，伴随希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还促进了现代计算理论的成长当然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范围11 20世纪数学概观11.2 更高的抽象n勒贝格积分与实变函数论n泛函分析n抽象代数n拓扑学n公理化概率论11.2 更高的抽象 高度抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势与特征之一，这种趋势与特征主要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点集合论由康托尔创立，主要对象是超限数理论这一理论发展成了20世纪数学的基础集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论同时，集合论作为一种普遍的语言深入到数学的每一个角落，初等数学的一些基本概念也集合化了。

公理化方法：现代公理化方法的奠基人是希尔伯特他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法现代公理方法有两个本质的飞跃11.2 更高的抽象现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念这样现代公理系统就表现了更大的一般性当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成这些学科所创造了抽象语言，结构和方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等经典学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化11.2 更高的抽象11.2 .1 勒贝格积分与实变函数论积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。

实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化勒贝格积分看成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是经典分析，而前者称为现代分析实变函数论n 分析的“分水岭” n1930年尼古丁(波, 1887-1974)的抽象测度论勒贝格n1902年勒贝格(法, 1875-1941)的积分, 长度与面积建立了测度论和积分论波莱尔n1898年波莱尔(法, 1871-1956)的测度论n1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了黎曼积分11.2 更高的抽象11.2.2 泛函分析在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即关于函数的函数泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创积分方程也是泛函的一个来源19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程看成是线性代数方程组的极限情形其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一个具体的无穷维空间其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并经过几何类比，由内积概念建立了高维空间。

后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一个平方可积函数就可以看成无穷维空间L2(a,b)上的一个点简单地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分泛函分析n 创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代): 1906年弗雷歇(法, 18781973), 1922年列维(法, 1886-1971)出版泛函分析n 发展时期(20世纪20至40年代):1932年巴拿赫(波, 1892-1945)的线性算子论, 1940年盖尔范德(苏, 1913- ,W)的巴拿赫代数理论n 成熟时期(20世纪40年代起):施瓦兹(法, 1915-2002, F)的广义函数理论, 格罗登迪克(法, 1928- , F)的核空间理论巴拿赫 巴拿赫(波, 1892-1945) : 1910年中学毕业后自修数学, 后就读于利沃夫工学院, 1917年发表关于傅里叶级数收敛的论文 1920年利沃夫工学院助教, 取得博士学位 1927年利沃夫工学院教授, 形成利沃夫学派 1929年创办数学研究, 1932年出版线性算子论 1936年奥斯陆ICM上作大会报告, 1939年波兰数学会主席, 1939-1941年利沃夫大学校长 德国占领波兰期间, 寄生虫饲养员, 后得胃癌去逝11.2 更高的抽象11.2.3 抽象代数在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。

19世纪，关于群的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与相关的各种代数系统后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡凯莱首先（18491854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（18491917）发展（1895）了群表示论，韦伯（18421913）提出（1893）域的抽象理论20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（18821935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位1921年诺特发表环中的理想论揭开了现代抽象代数的开端她用公理化泛函发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础其后逐步建立非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和30年代前期世界抽象代数中心。

抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成代数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点，明确了另外两类结构“拓扑结构”和“序结构”，并将它们结合代数结构称为“母结构”结构观点可以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一般的抽象结构的研究抽象代数 希尔伯特(德, 1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物 经典代数学: 求解代数方程和代数方程组 抽象代数学: 公理化方法研究具有代数结构的集合 创立者: 诺特(德, 1882-1935)与阿廷(奥, 1898-1962) 范德瓦尔登(荷, 1903-1996)近世代数学(1930-1931)基本代数结构群环域抽象代数阿廷范德瓦尔登诺特 诺特(德, 1882-1935) : 父亲是埃尔朗根大学数学教授, 1902年进入埃尔朗根大学, 1903年在哥廷根大学学习, 1907年通过博士论文答辩, 从事不变量研究 1916-1933年在哥廷根大学, 开创“近世代数”, 1932年苏黎世ICM上作一小时报告 1933年9月到美国宾州布林莫尔女子学院 “根据现在的权威数学家们的判断, 诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才. 在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中, 她发现了一套方法, 当前一代年轻数学家的成长已经证明了这套方法的巨大意义.”(爱因斯坦于纽约时报)11.2 更高的抽象11.2.4 拓扑学拓扑学是研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。

早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科庞加莱在18951905年间发表了一组论文，开创了现代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代数组合的方法研究其性质，即形成了组合拓扑学1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“一般拓扑学”拓扑学七桥问题多面体n 1752年欧拉示性数V-E+F=2李斯廷n 1847年李斯廷(德, 1808-1882)拓扑学引论欧拉n 1736年欧拉(瑞, 1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题形成1736年欧拉(瑞, 1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题拓扑学形成拓扑学形成 默比乌斯 1858年默比乌斯(德, 1790-1868)带 1874年克莱因(德, 1849-1925)瓶克莱因 1895年庞加莱(法, 1854-1912)发表位置分析庞加莱拓扑学默比乌斯带拓扑学克莱因瓶拓扑学一般拓扑学代数拓扑学微分拓扑学拓扑学发展豪斯道夫 1914年豪斯道夫(德, 1868-1942)集合论纲要布劳威尔莱夫谢茨 布劳威尔(荷, 1881-1966)和莱夫谢茨(俄-美, 1884-1972)的不动点定理E嘉当吴文俊 拓扑不变量11.2 更高的抽象11.2.5 公理化概率论概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。

概率论起源于1516世纪关于赌博问题的讨论到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析方法过渡19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题19世纪末，人们开始追求概率论的基础20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的正确道路20年代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论从而赋予了概率论以演绎数学的特征在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破 来源概率论n1657年惠更斯(荷, 1629-1695)在“论赌博中的机会”中提出数学期望l 研究随机现象数量规律的数学分支帕斯卡(法, 1962)惠更斯(荷兰, 1929)n 赌博问题1654年帕斯卡(法, 1623-16。