2020年广东省高一（上）期中数学试卷解析版.pdf

第 1 页 共 13 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A 1 0 1 2 集合 B y y 2x 3 x A 则 A B A 1 0 1 B 1 1 C 1 1 2 D 0 1 2 2 函数则 f f 2018 A 1B 1C 2018D 2018 3 下列运算中正确的是 A a2a3 a6B a2 3 a3 2 C D a2 5 a10 4 已知函数 f x 是定义域 上的单调递减函数 则实数 a 的取值范围是 A B C D 5 已知对数函数 f x logax 是增函数 则函数 f x 1 的图象大致是 A B C D 6 若函数 f x log2 x 1 且 a b c 0 则 的大小关系是 A B C D 7 已知函数 f x 为定义在 3 t 2 上的偶函数 且在 3 0 上单调递减 则满足 f x2 2x 3 f x2 的 x 的取值范围 A 1 B 0 1 C 1 D 0 8 若实数 x y 满足 x 1 ln 0 则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是 第 2 页 共 13 页 A B C D 9 根据下表 用二分法求函数 f x x3 3x 1 在区间 1 2 上的零点的近似值 精 确度 0 1 是 f 1 1f 2 3f 1 5 0 125 f 1 75 1 109375f 1 625 0 41601562f 1 5625 0 12719726 A 1 75B 1 625C 0 12719726D 1 5625 10 某地的水电资源丰富 并且得到了较好的开发 电力充足 某供电公司为了鼓励居 民用电 采用分段计费的方法来计算电费 月用电量 x 度 与相应电费 y 元 之间的函数关系如图所示 当月用电量为 300 度时 应交电费 A 130 元B 140 元C 150 元D 160 元 11 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动 M 是 CD 的中点 则当 P 沿 A B C M 运动时 点 P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 的函数 y f x 的图象的形状大致是 图中的 A B C D 第 3 页 共 13 页 12 已知函数 f x 函数 y f x a 有四个不同的零点 从小到大 依次为 x1 x2 x3 x4 则 x1x2 x3 x4的取值范围为 A 4 4 e B 4 4 e C 4 D 4 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 集合 A 0 ex B 1 0 1 若 A B B 则 x 14 已知幂函数 f x 的图象经过点 则 f 4 的值为 15 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 且当 x 0 时 f x 若对任意实数 都有 f t a f t 1 0 恒成立 则实数 a 的取值范围是 16 已知函数 f x 若存在实数 a b c d 满足 f a f b f c f d 其中 0 a b c d 则 abcd 的取值范围 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 化简求值 1 2 lg14 2lg lg7 lg18 18 已知集合 P x a 1 x 2a 1 Q x 1 2x 5 15 1 已知 a 3 求 RP Q 2 若 P Q Q 求实数 a 的取值范围 19 1 函数 y log2 x 1 的图象是由 y log2x 的图象如何变化得到的 2 在右边的坐标系中作出 y log2 x 1 的图象 3 设函数 y 与函数 y log2 x 1 的图象的两个交点的横坐标分别为 x1 x2 设 M x1x2 2 x1 x2 4 请判断 M 的符号 第 4 页 共 13 页 20 设函数 1 求证 不论 a 为何实数总为增函数 2 确定 a 的值 使为奇函数 3 在 2 的条件下求的值域 21 某工厂在政府的帮扶下 准备转型生产一种特殊机器 生产需要投入固定成本 500 万 元 生产与销售均以百台计数 且每生产 100 台 还需增加可变成本 1000 万元 若市场对该 产品的年需求量为 500 台 每生产 m 百台的实际销售收入近似满足 函数 R m 5000m 500m2 0 m 5 m N I 试写出第一年的销售利润 y 万元 关于年产量 x 单位 百台 x 5 x N 的函数关系式 说明 销售利润 实际销售收人一成本 II 因技术等原因 第一年的年生产量不能超过 300 台 若第一年人员的年支出 费用 u x 万元 与年产量 x 百台 的关系满足 u x 500 x 500 x 3 x N 问年产量 x 为多少百台时 工厂所得纯利润最大 22 已知函数 g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在区间 2 3 上有最大值 4 最小值 1 设 f x 第 5 页 共 13 页 1 求常数 a b 的值 2 方程 f 2x 1 k 3 0 有三个不同的解 求实数 k 的取值范围 第 6 页 共 13 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 集合 A 1 0 1 2 集合 B y y 2x 3 x A 5 3 1 1 则 A B 1 1 故选 B 化简集合 B 根据交集的定义写出 A B 本题考查了集合的化简与运算问题 是基础题 2 答案 B 解析 分析 本题考查函数值的求法 考查函数性质等基础知识 考查运算求解能力 是基础题 推导出 f 2018 1 从而 f f 2018 f 1 由此能求出结果 解答 解 函数 f 2018 1 f f 2018 f 1 12 2 1 1 故选 B 3 答案 D 解析 解 a2a3 a2 3 a5 故 A 错误 a2 3 a2 3 a6 a3 2 a6 故 B 错误 当 a 1 时 无意义 故 C 错误 a2 5 a10 故 D 正确 故选 D 利用有理指数幂的运算性质逐一核对四个选项得答案 本题考查有理指数幂的运算性质 是基础题 4 答案 B 解析 解 若 f x 是定义域 上的单调递减函数 则满足 即 即 a 故选 B 根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可 本题主要考查函数单调性的应用 根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关 键 5 答案 B 第 7 页 共 13 页 解析 分析 本题主要考查了对数函数的图象与性质 以及分析问题和解决问题的 能力 这类试题经常出现 要高度重视 先导出再由函数 f x logax 是增函 数知 a 1 再由对数函数的图象进行判断 解答 解 由函数 f x logax 是增函数知 a 1 根据对数函数的图象做法可知 B 正确 故选 B 6 答案 B 解析 解 由题意可得 分别看作函数 f x log2 x 1 图 象上的点 a f a b f b c f b 与原点连线的斜 率 结合图象可知当 a b c 时 故选 B 把 分别看作函数 f x log2 x 1 图象上的点 a f a b f b c f b 与原点连线的斜率 对照图象可得答案 本题主要考查了利用对数函数的图象与直线斜率的关系 体现了数形结合的数形思想在 解题中的应用 7 答案 C 解析 分析 根据函数的奇偶性和单调性可得 本题考查了奇偶性与单调性得综合 属中档题 解答 解 因为函数 f x 为定义在 3 t 2 上的偶函数 所以 3 t 2 0 t 5 因为函数 f x 为定义在 3 3 上的偶函数 且在 3 0 上单调递减 所以 f x2 2x 3 f x 等价于 f x2 2x 3 f x2 1 即 0 x2 2x 3 x2 1 3 1 x 故选 C 8 答案 B 第 8 页 共 13 页 解析 解 x 1 ln 0 f x x 1 其定义域为 R 当 x 1 时 f x x 1 因为 0 1 故为减函数 又因为 f x 的图象关于 x 1 轴对称 对照选项 只有 B 正确 故选 B 先化简函数的解析式 函数中含有绝对值 故可先去绝对值讨论 结合指数函数的单调 性及定义域 对称性 即可选出答案 本题考查指数函数的图象问题 考查识图能力 属于基础题 9 答案 D 解析 解 2 1 1 0 1 f 1 5 f 2 0 且 2 1 5 0 5 0 1 f 1 5 f 1 75 0 且 1 75 1 5 0 25 0 1 f 1 5 f 1 625 0 且 1 625 1 5 0 125 0 1 f 1 5 f 1 5625 0 且 1 5625 1 5 0 0625 0 1 用二分法求函数 f x x3 3x 1 在区间 1 2 上的零点的近似值 精确度 0 1 是 1 5625 故选 D 由图表结合 f a f b 0 且 a b 0 1 即可求得答案 本题考查利用二分法求方程近似解的方法 关键是对精确度的理解与应用 是基础题 10 答案 D 解析 解 当 x 100 时 设 y kx b 图象过点 100 60 200 110 解得 k b 10 y x 10 x 300 100 y 300 10 160 故选 D 先求出 x 100 时函数解析式 然后根据当月用电量为 300 度时 代入解析式即可求出 所求 本题需仔细观察图象 从中找寻信息 并利用待定系数法解决问题 属于基础题 11 答案 A 解析 分析 本题主要考查了分段函数的图象 分段函数问题 应切实理解分段函数的含义 把握分 段解决的策略 属于中档题 随着点 P 的位置的不同 讨论三种情形即在 AB 上 在 BC 上 以及在 CM 上分别建立 面积的函数 分段画出图象即可 解答 第 9 页 共 13 页 解 根据题意得 f x 分段函数图象分段画即可 故选 A 12 答案 A 解析 解 函数 y f x a 有四个不同的零点 即两函数 y f x 与 y a 图象有四个 不同的交点 如图所示 由图象可知 1 a e x1 x2是方程的两根 即 x2 2x 1 lna 0 的两根 所以 x1x2 1 lna 0 1 x3 x4是方程的两根 即 x2 3 a x 4 0 的两个根 x3 x4 3 a 4 e 3 所以 x1x2 x3 x4 4 a lna 4 e 4 故选 A 将函数 y f x a 有四个不同的零点转化为两函数 y f x 与 y a 图象交点问题 数形 结合求解 本题考查分段函数的零点问题 属于中档题目 13 答案 0 解析 解 因为集合 A 0 ex B 1 0 1 A B B 所以 A B 又 ex 0 所以 ex 1 所以 x 0 故答案为 0 推导出 A B ex 0 从而 ex 1 由此能求出结果 本题考查实数值的求法 考查并集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是基础题 14 答案 2 第 10 页 共 13 页 解析 分析 本题考查函数值的求法 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意幂函数的性质 和应用 设幂函数 f x xa 由 f x 过点 2 知 2a 由此能求出 f 4 解答 解 设幂函数 f x xa f x 过点 2 2a a f 4 2 故答案为 2 15 答案 3 0 解析 解 当 x 0 时 f x 1 f x 在 0 上单调递增 由 f t a f t 1 0 得 f t a f t 1 又 f x 是定义在 R 上的偶函数 f t a f t 1 则 t a t 1 两边平方得 2a 2 t a2 1 0 对任意实数 t 2 都有 f t a f t 1 0 恒成立 对任意实数 t 2 都有 2a 2 t a2 1 0 恒成立 则 化简得 解得 a 0 或 a 3 则实数 a 的取值范围是 3 0 故答案为 3 0 由分离常数法化简解析式 并判断出函数 f x 在 0 上是增函数 由偶函数的 性质将不等式化为 f t a f t 1 利用单调性得 t a t 1 化简后转化为 对 任意实数 t 2 都有 2a 2 t a2 1 0 恒成立 根据关于 t 的一次函数列出 a 的不 等式进行求解 本题考查函数的奇偶性与单。