三角形中的最值、范围问题高二数学特色专题训练（必修五）——解析版.pdf

一、选择题1在 ABC 中， sin A34， a10，则边长 c 的取值范围是( )A. 15,2B. (10 ，)C. (0,10)D. 400,3【答案】 D【解析】由正弦定理得sin104040sinsin0,3sin334aCcCCA,选 D. 2 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为a、 b、 c， 且 BC 边上的高为36a， 则cbbc的最大值是 ( )A. 8B. 6C. 32D. 4【答案】D3在ABC中，内角,A B C的对边分别是, ,a b c，若32sin242B，且2ac，则ABC周长的取值范围是( )A. 2,3B. 3,4C. 4,5D. 5,6【答案】 B【解析】由0B得，4324B74，32sin242B，324B34解得 B=3，又 a+c=2，由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-ac=4-3ac，a+c=2，a+c2ac，当且仅当a=c 时取等号， 0ac1，则 -3-3ac0，则 1b24， 即 1b2 ABC 周长 L=a+b+c=b+2 3， 4） 故选 B4在ABC中, 角ABC、 、所对边长分别为, ,a b c, 若2222abc, 则cosC的最小值为（）A. 32B. 22C. 12D. 12【答案】 C5已 知ABC是锐角三角形，若2AB，则ab的取值范围是（）A. 2,3B. 2, 2C. 1,3D. 1,2【答案】 A【解析】由题意得，在ABC中，由正弦定理可得sinsinaAbB，又因为2AB，所以2cosaBb，又因为锐角三角形，所以20, 30,22BCB所以,2cos2,364BB故选 A6. 已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 是锐角三角形，解得，即的值范围是二、填空题7.在ABC中，60ACB，1BC，12ACAB，当ABC的周长最短时，BC的长是_ _【答案】212【解析】设边AB、BC、AC所对边分别为c、a、b，依题意，有：12160bcaC，由余弦定理，得：2222coscababC，即2221122caca c，化简，得：211241aaca，ABC的周长：122abcac2121212aaaa26321aaa令1ta，则三角形周长为：2613139993222222ttttt，当332tt，即22t，212a时ABC的周长最短8设,m nR，若直线:10lmxny与x轴相交于点A， 与y轴相交于点B，且l与圆224xy相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_. 【答案】3整理得：2213mn，令直线l解析式中0y，解得：1xm，10Am（，），即1OAm，令0 x，解得110yBnn：， （ ， ），即1OBn，222mnmn，当且仅当mn时取等号，222mnmn，又AOB为直角三角形，22111322ABCSOA OBmnmn，当且仅当2216mn时取等号，则AOB面积的最小值为39已知ABC为锐角三角形，角 A, B, C 的对边分别是, ,a b c其中2c，3coscos2sincaBbAC则ABC周长的取值范围为_.【答案】（23+2， 6.=4 33(sinA+sin(23-A)+2=4 33(sinA+32cosA+12sinA)+2 =4sin(A+6)+2. C=3， ABC 是锐角三角形，A，B（6，2） ， A+6（3，23） ，sin(A+6)（32，1， a+b+c=4sin(A+6)+2（ 23+2，6. 10在ABC中，,2,45BCx ACB，若三角形有两解，则x的取值范围是 _. 【答案】22 2x【解析】在 ABC 中, ,2,45BCx ACB，且三角形有两解，如图：452xsinx，解得22 2x，x 的取值范围是(2,22，故答案为：(2,2 2). 11.设锐角ABC的三内角,A B C所对边的边长分别为, ,a b c，且1 ,2aBA，则b的取值范围为_【答案】2,312. 在钝角中，内角的对边分别为，若，则 的取值范围是_. 【答案】【解析】三条边能组成三角形，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得：1c5，若 A为钝角，则：，解得：，结合可得c 的取值范围是. 13.在锐角ABC中，内角,A B C所对的边分别是, ,a b c，若2CB，则cb的取值范围是 _【答案】2,3【解析】因为2CB，所以sinsin22sin cos2 cos ,2coscCBBBcbBBb因为锐角ABC，所以0,02,03,222BCBACBB23cos,2,36422cBBb14. 若的面积为,且 C 为钝角，则B=_； 的取值范围是_. 【答案】15. 在锐角中，角、 所对的边分别为，且、 、成等差数列，则面积的取值范围是 _【答案】【解析】中 、 成等差数列，由正弦定理得，为锐角三角形，解得，故面积的取值范围是三、解答题16.已知函数233sinsin cos2fxxxx.（）求函数fx的单调递增区间；（）在ABC中，角,A B C的 对边分别为, ,a b c，若A为锐角且32fA，4bc，求a的取值范围 .【答案】 (1) sin23fxx,单调增区间5,1212kkkZ（2）2,4a【解析】（1）函数变形1 cos2133sin2sin 22223xfxxx，即sin 23fxx，令222,232kxkkZ，解得51212kxk，所以单调增区间5,1212kkkZ（2）3sin 232fAA，0,2A22333A所以233A解得3A，又4bc，在ABC中，22222344bcabcbcbcbc，等边三角形时等号成立，所以2a，又因为是三角形所以,4bca a，所以2,4a。

17.已知 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别是a，b，c，且 a2=b2+c2bc（）求角A 的大小；（）若a=，求 b+c 的取值范围【答案】（I）A= （II）b+c2（II ）解：一方面b+c a=，另一方面： a2=3=b2+c2bc=（b+c）23bc （b+c）2（b+c）2=（b+c）2，（ b+c）2 12 ，b+c2，当且仅当b=c=时取到等号综上：b+c218ABC的内角ABC， ，对的边为abc， ，向量3mab，与cossinnAB，平行 . （1）求角A；（2）若2a，求 sinB+sinC 的取值范围 . 【答案】（1）3A（2）3sinsin32AC【解析】试题分析： （1）由m与n平行，由向量平行定理可得sin3 cos0aBbA转化即得tan3A，可求得3A； （2）由（ 1）得22,33BCCB，代入sinBsinC得sinBsinC，36sinB根据B的取值范围即可求出sinBsinC的取值范围 . 19.在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c. 已知点,b a在直线sinsinsinsinxByABcC上.(1)求角C的大小； (2) 若7c，求ABC面积的最大值.【答案】（1）3（2）7 34【解析】（1）因为点, b a在直线sinsinsinsinxByABcC上，所以sinsinsinsinbBaABcC, 由正弦定理得abcbbac, 即2222221cos0,223bacbacabCCCab（2）因为7c，所以22727baabababab，当且仅当ab时取等号所以17 3sin234Sab，即ABC面积的最大值为734 .20.在中，角所对的边分别为，已知. （1） 求角的大小；（2） 若，求使面积最大时的值 . 【答案】（1）23； （2）2 33ab时，面积最大 . 【解析】（1）由可得：，去分母得：则有，即1cos2C，23C；（2）13sin24ABCSabCab，再根据余弦定理得：224abab，2242ababab，则43ab，那么3343Sab，当且仅当2 33ab时，面积最大 . 21.如图所示， 某公路AB一侧有一块空地OAB， 其中3,3 3OAkm OBkm，90AOB 当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中 M，N 都在边 AB 上（ M，N 不与 A，B 重合， M 在 A，N 之间） ，且 MON30 （1）若 M 在距离 A 点 2 km 处，求点M， N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小试确定M 的位置，使OMN 的面积最小，并求出最小面积【答案】（1）74MN（2）最小面积是227 234km【解析】（1）在 OAB 中，因为OA3， OB3， AOB90 ，所以 OAB60 在 OAM 中，由余弦定理得OM2AO2 AM22AO AM cosA 7，所以 OM，所以 cosAOM，在 OAN 中， sinONAsin( A AON) sin(AOM90 )cosAOM在 OMN 中，由，得 MN 由，得 ON 所以 SOMN OM ON sin MON ， 0 x3令 6xt，则 x6t，3t 6，则 SO MN(t9) (29)当且仅当t，即 t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为所以 M 的位置为距离A 点 63km 处，可使 OMN 的面积最小，最小面积是km2解法 2：设 AOM ，0 在 OAM 中，由，得 OM在 OAN 中，由，得 ON所以 S OMN OM ON sinMON ，0 当 2 ，即 时， S OMN的最小值为所以应设计AOM，可使 OMN 的面积最小，最小面积是227 234kmkm222. 在ABC中，a2c2b2ac. (1) 求B的大小；(2) 求cosAcosC的最大值【答案】（1）4； （ 2）最大值1. 因为 0A，(10 分) 所以当A时，cosAcosC取得最大值1. 23.在ABC中，角ABC， ，的对边分别是abc， ，已知4 cos3 coscosaABbC.（1）证明：22232bcabc；（2）若?6AB AC，求a的最小值 .【答案】 (1) 证明见解析；(2)2.【解析】(1) 证明：由4 cos3coscosaAcBbC及正弦定理得，4sin cosAA3 sin cossin cosCBBC3sin BC3sinA，又sin0A，3cos4A，222324bcabc，即22232bcabc.(2) cos6AB ACbcA，8bc，由余弦定理得2222cosabcbcA322bcbc142bc，2a，a的最小值为2.24.在中，分别是角的对边，. （1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值 . 【答案】（1）（2）（）由余弦定理得：，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，的面积的最大值为25.在中，分别为角的对边，已知（I）求角的值；（ II ）若，求得取值范围 . 【答案】 (1) (2) （II ），又因为，所以26.在ABC中，角ABC、 、的对边分别为, ,a b c，满足2coscosbcAaC( ) 求角A的大小( ) 若3a，求ABC的周长最大值【答案】 (1)3 (2)9【解析】（I）解：由2coscosbcAaC及正弦定理，得2sinsincossin cosBCAAC2sin cossincossin cosBACAAC2sin cossinsinBACAB0,sin0BB0,A1cos2A3A(II)由（ I）得3A，由正弦定理得32 3sinsinsin32bcaBCA所以2 3sin ;2 3sinbB cCABC的周长32 3sinB2 3sin3lB32 3sinB2 3 sinBcossin33cosB33 3sinB3cosB36sin6B20,3B当3B时，ABC的周长取得最大值为927. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a，242cossin25BCA. （1）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；（2）当ABC的周长取最大值时，求b的值 . 【答案】（1）10(0,23； （2）10.。