证明的必要性讲义.ppt

教材的地位分析 实验几何 实验向论证过渡 几何证明 实验与推理综合运用 图形的初步知识 七年级上 平行线、特殊三角形、 直棱柱、图形与坐标 三角形的初步知识、图形和变换 命题与证明、平行四边形、 特殊平行四边形与梯形 圆的基本性质、相似三角形、 投影与三视图、解直角三角形 直线与圆、圆与圆的位置关系 七年级下 八年级上 八年级下 九年级上 九年级下 《数学》( 北师大.七年级 下册 ) 浙教版浙教版• •八年级八年级《《数学数学( (下下) )》》 第四章第四章 昆阳二中昆阳二中陈建华陈建华 一、教材内容 l§4.1 定义与证明 l§4.2 证明 l阅读材料（一元二次方程的发展） l§4.3反例与证明 l§4.4反证法 与老教材比较： （1）加强定义与命题的区别 （2）突出反例与证明的关系 （3）反证法教材内容变化较大 二、参考的教学建议 1、 使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性 2、注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性 3、要求学生掌握证明的基本要求和方法 4、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发 5、依据《新课程标准》和教材的基本要求，把握好证明的难易程 度。

在实验几何中，我们让学生通过观察、实验和归纳得出 结论而本章则要设置一些如课本4、2中的合作学习，使学生感受 到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，从而让学生理解证 明的必要性 1、 使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会 证明的必要性 在前面的学习中，学生们已经历了探索、并发现图形性质的过 程，但没有给予严格的证明在教学中，应把证明作为探索活动的 自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结 果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将 有利于学生全面地理解证明 注意：在强调证明的必要性时，不要否定实验、归纳的重要 性在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要 发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径 观察下图，先猜想结论，在动手验证： 一组直线a，b，c，d是否都相互平行？ a d c b 2、注重对证明思路的启发，提倡证明方法的 多样性 探索证明的思路与方法是学习本章内容的重点 教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮 助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构造在这个过程中，原 来在进行图形的折叠、拼摆等探索图形性质时所使用的方法对证 明的思路也是很重要的，教师应注意引导启发。

很多图形性质及 结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多 样的因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法 ，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证 明方法的异同，提高逻辑思维水平 如：例3 求证：三角形三个内角和等于180° 改为合作学习：用多种方法证明：三角形三个内角和等于180° A B C 3、要求学生掌握证明的基本要求和方法 在本章中，命题证明是学习的重点，因此教学中要注意培养学生 掌握推理证明的基本要求（明确前提和结论、画出图形、能够用数 学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推 理的过程） 教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一定 数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路 注意：与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师也 要为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意学 生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导 4、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生 学习方法的启发 在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方 法，如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、 转化的思想方法、反证法的思想方法、分析法的思想方法 等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，并运用在 问题的解决过程中。

同时，注意培养学生逆向思维、逻辑 思维等能力 例：如图，AD是⊿ABC的高，E是AD上一点，若 AD=BD，DE=DC求证：∠BED=∠C D A B C E 分析：（1）执因索果（2）执果索因 （1）执果索因其实就是分析法， 它是一种重要的逆向思维的思考 方法，它对于寻求证明途径往往 非常有效 （2）对于复杂的问题，往往要把 两种思维方式结合起来，从已知 出发得到什么，从求证出发你需 要什么，从而沟通已知与未知的 联系 5、依据《新课程标准》和教材的基本要求，把握 好证明的难易程度 对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对 一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一 味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的 基本要求，控制好所证命题的难度 《数学》( 北师大.七年级 下册 ) 浙教版浙教版• •八年级八年级《《数学数学( (下下) )》》 第五章第五章 一、教材地位 本章主要内容有多边形、平行四边形、中心对称 、三角形的中位线、逆命题和逆定理它是在学生小 学学过的平行四边形知识的基础上作进一步的整理和 探究，也是平行线和三角形知识的应用和深化;是学习 矩形、菱形、正方形的必备知识，是证明线段相等、 角相等，两直线平行的重要依据。

另外，通过本章的 学习，培养学生运用“类比、化归”等方法，主动探求 新知识的能力，渗透“几何来源于实践而又反过来服务 于实践”的辩证唯物主义思想，以及数学内容中相互运 动变化，相互联系、相互转化的观点 二、教学内容 平行四边边形 四边边形 平行四边边形 多边边形 中心对对称 平行四边边 形的性质质 平行四边边形 的判定 中心对对称的性质质 多边边形的内角和与外角和 1、本章知识结识结 构框架图图如下: 正多边形 正多边形的镶嵌 三角形中 位线定理 逆命题题与逆定理 三、新旧教材对比 （1）增加多边形内角和、外角和定理 （2）增加平面图形的密铺 （3）注重平行四边形定义、性质、判定等知识的生成过程 （4）平行四边形的性质 中心对称 平行四边形的判定 三角形的中位线 （5）平行四边形独立成章，突出平行四边形承前启后的作用 1 1、一些基本概念是如何得出的？、一些基本概念是如何得出的？ 2 2、有关性质和判定主要通过什么方式得到的、有关性质和判定主要通过什么方式得到的 ？与传统方式有什么不同？安排体系与以往有？与传统方式有什么不同？安排体系与以往有 哪些差异哪些差异? ? 四、教学说明及建议 利用师生互动，探索新知，让学生经历知识的发 生过程，获得一些基本概念. 通过学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作 、想像、交流等活动中认识平行四边形的有关性质和 判定。

3 3、、多边形内角和、外角和的结论是怎样处多边形内角和、外角和的结论是怎样处 理的？理的？ 体现探索过程和思维方式的多样性 ----经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进 一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯 4 4、平面图形的镶嵌如何定位？、平面图形的镶嵌如何定位？ 落实探索和交流 ----经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学 生的合情推理能力、合作交流意识和一定的审美情趣 ，进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用性和 普遍存在性 任意画一个△ABC,以其中一条边AC的中点O为旋 转中心,按逆时针(或顺时针)方向旋转180°,所得的像 △CDA与原像△ABC组成四边形ABCD (1)找出图中相等的角; (2)你认为四边形ABCD的两组对边AD与BC,AB与 CD有什么关系?请说出你的理由; (3)四边形ABCD是什么四边形? A B C D O 两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形 ∠B=∠ D, ∠ BAC=∠ DCA, ∠ ACB=∠ CAD AD∥ BC,AB∥ CD 平行四边形的定义 1.如图1,点O是等边三角形ABC的两条高的交点,以O 为旋转中心,把等边三角形ABC按顺时针旋转180°,作 出所得的像. 2.点O`是 ABCD的对角线AC,BD的交点(如图),以O` 为旋转中心,把 ABCD按顺时针旋转180°,作出所得 的像. AB C O O` A B CD 如果一个图形绕着一个点旋转180°,所得到的图 形和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中 心对称图形,这个点叫对称中心. 像与原像不重合 像与原像重合 中心对称图形的定义 C 任意画一个△ABC,以其中一条边AC的中点O为旋转中心,按 逆时针(或顺时针)方向旋转180°,所得的像△CDA与原像 △ABC组成四边形ABCD (1)找出图中相等的角; (2)你认为四边形ABCD的两组对边AD与BC,AB与CD有什么 关系?请说出你的理由; (3)四边形ABCD是什么四边形? A B D O 两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形 平行四边形的对角相等 平行四边形的两组对边平行 平行四边形的两组对边相等 推论 夹在两条平行线间的平行线相等 夹在两条平行线的垂线段相等 平行四边形的对角线互相平分 ----通过操作性活动探索平行四边形有关概念和性质， 发展学生探究意识和合作交流的习惯。

∠B=∠ D, ∠ BAC=∠ DCA, ∠ ACB=∠ CAD AD∥ BC,AB∥ CD 在过程中关注推理 ----在分析平行四边形判定条件的过程中，发展学生的合 情推理意识、主动探究的习惯, ----关注说理的基本方法 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片 (1)如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形,剪痕的位置有什么 要求? (2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角形 作怎样的图形变换? A B C D E A BC D E F 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半 在一张纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,把它们 拼在一起(四个角的顶点重合),你发现了什么?其他同学 与你的发现相同吗?你能把你的发现概括成一个命题 吗?四边形的内角和等于360° 边数 图形 从某顶点出发 的对角线条数 划分成的三 角形个数 多边形的内 角和 3 0 11×180° 4 1 22×180° 5 6 … … … … n 下面我们来探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律.请填写下 表: 你从表中得到了什么结论? n边形的内角和为(n-2) × 180°(n3) 分别用若干个正三角形、正方形、正五边 形、正六边形的纸片，在一张桌面上尝试镶嵌 平面。

你发现这几种正多边形哪些能单独镶嵌 平面，哪些不能？你能说明其中的原因吗？ 你注意到地砖的形状大多 是几边形吗？有没 有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 1 2 3 4 1 2 3 正方形为什么能镶嵌？ 啊!拼不了啦, 为什么呢?你 能说说道理 吗? 1 2 3 ∠1+∠2+∠3= ? 正五边形可以密铺吗 ？ 正六边形可以密铺吗？ 镶嵌的条件： 平面图形能否密铺，关键看 每个拼接点处的几个内角的和能否组合成 360° 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 用形状、大小完全相同的任意三角形可 以密铺吗？ 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可 以密铺吗？ 结论：用形状、大小完全相同的一 种平面图形能够进行密铺的有：任 意三角形、任意四边形、正六边形 正五边形不能密铺 解：设在一个顶点周围有x个正四边形，y个正八边形，则 x·90°+y·135°=360° 即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =1 y 2 =0 所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能： （1）在它的一个顶点周围1个正。