高考数学（理）一轮规范练【43】空间向量及其运算（含答案）.doc

课时规范练43　空间向量及其运算　课时规范练第69页　 一、选择题1.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间三个向量a,b,c,对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案:A解析:①中a与b所在的直线有可能重合;②中a与b中可能有一个为零向量;③中举反例“空间直角坐标系的三个坐标轴”;④中前提必须是a,b,c不共面.2.对空间任意一点O,若,则A,B,C,P四点(　　)A.一定不共面 B.一定共面C.不一定共面 D.与O点的位置有关答案:B解析:由=1知P点在平面ABC内,即A,B,C,P四点共面.3.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=平行,则λ=(　　)A. B. C.- D.-答案:C解析:∵a∥b,∴b=ma,m∈R.∴.∴λ=-.4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,用a,b,c表示为(　　)A.-a+b+c B.a+b+cC.-a-b+c D.a-b+c答案:A解析:如题图,)=c+(b-a)=-a+b+c.5.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为(　　)A.19 B.- C. D.答案:C解析:=(1-x,2x-3,-3x+3),||==.当x=时,||取最小值.6.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于(　　)A.2 B.-2 C.-2或 D.2或-答案:C解析:由已知得,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)A. B. C. D.答案:A解析:如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,过C作CH⊥C1O于点H.∵⇒CH⊥平面C1BD,∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=,C1O=.由等面积法,得C1O·CH=OC·CC1,即·CH=×2,∴CH=.∴sin∠HDC=.故选A.二、填空题8.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为　　　　　. 答案:解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2=5=5.∴当t=时,|b-a,∴|b-a|最小=.9.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ(),则λ=　　　　　. 答案:解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG,GF,则).∴λ=.10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为　　　　　. 答案:解析:以A为原点建立空间直角坐标系,如图所示,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2),则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),||=,||=·=1,cos<>=,故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.三、解答题11.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直,求m,n应满足的关系式.解:∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),2a-b=(3,2,-2).∴m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).∵m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直,∴[m(a+b)+n(a-b)]·(2a-b)=3×2n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0,∴m=6n,即当m=6n时,可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.12.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=,SE⊥AD. (1)求证:平面SBE⊥平面SEC;(2)若SE=1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明:∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE⊂平面SAD,SE⊥AD,∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD,∴SE⊥BE.∵AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED=,∴∠AEB=30°,∠CED=60°,∴∠BEC=90°,即BE⊥CE.又SE∩CE=E,∴BE⊥平面SEC.∵BE⊂平面SBE,∴平面SBE⊥平面SEC.(2)解由(1)知,直线ES,EB,EC两两垂直.如图,以E为原点,EB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴,ES所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),B(2,0,0),∴=(0,-2,0),=(2,-2,0),=(0,-2,1).设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得x=,z=2,∴平面SBC的一个法向量为n=(,1,2).设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ,则sinθ=,∴直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.。