高考数学一轮复习极限-数列的极限、数学归纳法.doc

第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法一知识要点（一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当n>N时，|an-A|<恒成立，则称常数A为数列{an}的极限，记作.2.运算法则：若、存在，则有 ；3.两种基本类型的极限：<1> S=<2>设、分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为、且,则4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （|q|<1）无穷数列{an}的所有项和： （当存在时） （二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：①验证命题对于第一个自然数 成立②假设命题对n=k(k≥)时成立,证明n=k+1时命题也成立.则由①②,对于一切n≥ 的自然数,命题都成立二、例题（数学的极限）例1.（1）= ;2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,则= （3.）(a>1)= ;（4）．= ;（5）.= ;（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则= ;例2．将无限循环小数；1.32化为分数.例3．已知,求实数a,b的值;例4．数列{an},{bn}满足(2an+bn)=1, (an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的极限是否存在，说明理由并求(anbn)的值.例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有=a,求r的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=,求.例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,…cn, …的各项和.例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

rnrn+1an例9．如图，B1，B2，…，Bn,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A1，A2，…，An…顺次为ox轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0).(1)求出An的横坐标的表达式;An─1A1A2AnBnB3B2B1yxO(2)求.二．例题（数学归纳法）例1．用数学归纳法证明2n>n2 (n∈N,n5),则第一步应验证n= ;例2．用数学归纳法证明,第一步验证不等式 成立；例3.是否存在常数a,b,c,使得等式122＋232＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)例4.已知数列{an}=,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.例5．证明：> (n∈N,n2)例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).例7.在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列．记．（Ⅰ）求数列和的通项；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并证明你的结论．例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例9．已知数列是等差数列，。

Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设数列的通项（其中，且），记是数列的前n项和试比较与的大小，并证明你的结论练习（数列的极限）1. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于( )(89年)(A)8 (B)16 (C)32 (D)482. 的值等于( )(91年)(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年)(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,)7.)等于 ( ) (A)0 (B) (C) (D)58．等于：（A）16 （B）8 （C）4 （D）29． 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,=1,则公比q的取值范围是： （A）.q≥1 （B）.0110.的值为 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么等于___.12.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，S＝______.(93年)13.如果存在，且，则＝________14.＝____________.(86年)15.＝____________.(87年)16.已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则＝___.17．求= （a>0);18．数列,,,…的前n项和及各项和S= .19..= .20.已知数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－,其中b是与n无关的常数,且b≠－1；Ⅰ.求an和an＋1的关系式; Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年)21．在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a,求所有正方形的面积之和.a 22．已知直线L：x─ny=0(n∈N),圆M：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2,又L与M交于点A、B，L与φ交于点C、D，求.23.设a (n＝1,2,3……),b (n＝1,2,3……),用极限定义证明.(85年)练习（数学归纳法）1．由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)= ;(2)凸n边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)= .2．平面上有n条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+ .3．当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。

4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为 .5.用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(n∈N).6．若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明：a12+a22+…+an2. (n2,n∈N)7．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈N,n3,,试比较AN与Bn的大小.8．数列{an}中，.9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时，都有an+cn>2bn.(n∈N).10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an (n∈N),(1) 试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式；(2) 证明你的猜想，并求出an的表达式11．已知{an}满足：(n─1)an+1=(n+1)(an─1),a2=6,bn=n+an(nN).(1)求出bn的通项公式，(2)是否存在非零常数p、q使数列{}成等差数列？若存在，试求出q、q的关系，若不存在，说明理由. （注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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