信号与系统王明泉第二章习题解答.doc

第 2 章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应；（4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应；（5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断 0 时刻的跳变情况；（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积 ；2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立；（2）用时域经典法求系统的响应；（3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是 函数形式与其它信号的卷积；()t（5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应2.3 本章的知识结构线性时不变系统时域经典法系统微分方程的 求解系统微分方程的建立特解齐次解卷积法零状态零输入法零输入响应 状态零状态响应 输入单位冲激响应意义与求解卷积的求解 性质与计算线性线性2.4 本章的内容摘要2.4.1 系统微分方程的建立电阻： )(1)(tvRti电感： dtiLtv)()()()(10tivti L电容： dtCti)(tLtiitv0)()(102.4.2 系统微分方程的求解齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程tntth ececty321)( 当特征根有重根时，如 有 重根，则响应于 的重根部分将有 项，形如1k1ktktktth ececty 1112)(  当特征根有一对单复根，即 ，则微分方程的齐次解bia2,1 tectectytath snos)(当特征根有一对 重复根，即共有 重 的复根，则微分方程的齐次解mi2,1btetcbttecbty atmah osss)( 121 tddatatt ininin12特解的函数形式与激励函数的形式有关激励函数 )(tx响应函数 的特解)(ty(常数)EBpt 1121 ppBttate atecostin ttBsinco21)(eap teDttBatpptsin)(co11)sin(tetap注:(1)表中 、 是待定系数BD(2)若 由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合)(tx(3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： 倍乘表中特解假t如这种重复形式有 次（特征为 次） ，则依次增加倍乘 ， ，…， 诸项。

kkt2kt2.4.3 起始点的跳变-从 到 状态的转换0在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号 加入后系统的状态变化区间一般)(tx激励 都是从 时刻加入，此时系统的响应区间定义为 当系统用微分)(txt t0方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及0 )(t其各阶导数项如果包含有 及其各阶导数项，说明相应的 到 状态发生了跳变，)(t即 或 等等这时为确定 、 等状态，可以用)(0y''y)0(y)('冲激函数匹配法2.4.4 系统的零输入响应与零状态响应（1）零输入响应系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应零输入响应 是满足)(tyzi 0)()()1(1)(  tyattann及起始状态 的解,它是齐次解的一部分0)(ky，nktzizi kect1)(由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变， ，所以)0()(kky中的常数 可由 确定)(tyzi zikc)0(ky（2）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即 0)()0()( 1)1 nyy这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应 。

)(tyzs零状态响应 由起始状态为零时的方程)(tyzs10)0( )()()( 0111，nky txbtdtxbdtxyattatk mmnn所确定系统的零状态响应 为)(tyzs)(tyzspzshzs其中 和 分别为齐次解和特解)(tyzsh)(tzsp系统的线性：条件 1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和 条件 2 零输入线性，即零输入响应与初始状态 或 之间满足线性特性)0(x条件 3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性 2.2.5 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应（1）冲激响应系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响)(t应，用 表示亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号 时系统的零状态响应)(th )(t在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积因果系统的冲激响应为 0)(tht（2）阶跃响应一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统)(tg )(tu的零状态响应阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为 )(tg)(th或 dt)()(tgdth2.2.6 卷积积分（1）卷积积分的概念一般情况下，如有两个信号 和 做运算)(1tf2tf d)()(21tfty此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为 f或 )()(21tfty)()(21tftfty（2）卷积积分的图解法用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。

两个信号和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：)(1tf2tf第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和)(1tf2tf t)(1f的波形)(2f第二步，将 )波形以纵轴为中心轴翻转 180°，得到 波形 (2f )(2f第三步，给定一个 值，将 波形沿 轴平移 在 时，波形往左移，在t)(2f t0时，波形往右移，这样就得到了 的波形 0t t第四步，将 和 相乘，得到卷积积分式中的被积函数 )(1f)2tf )(21tf第五步，计算乘积信号 波形与 轴之间包含的净面积)(21tf第六步，令变量 在 范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积t,(信号 )(21ft（3）卷积运算的性质性质 1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算交换律 )()(12tftf结合律 )(][][ 32321 tftftf 分配律 )()( 11tff 性质 2 信号与奇异信号的卷积信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即 )()(tftf)00tf信号 与冲激偶 的卷积等于 的导函数，即)(tf(')(tf )()('' tftf信号 与阶跃信号 的卷积等于信号 的积分,即u)(tfdftft)()(性质 3 卷积的微分与积分如果 ，则有 )()(21tfty )()()( 2'1'21' tfttffty如果 ，则f。

  ttt dffdfdy )()()()()( 1221设 ，则有 tfft)(2)(1)( tttyjiji 2.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻 系统的零状态响应为 t tzs dhx0)()(2.2.8 相关如果 和 是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数)(1tf2tf（又称为互相关函数）定义为 121212()()()dRftdtftft和 )互相关性质： )(2112当 和 是同一个信号时，即 ，则它们之间的相关函数tftf )()(21tfftf（又称为自相关函数）定义为 ()()()Rftdtftftd自相关函数性质：（1） )(（2） 时，相关性最强， 最大0t 0R如果 和 是功率有限信号，且均为实函数，那么互相关函数定义为)(1f2tf21212 )(lim)( dtftT和 2121 d)(lim)(TtftR自相关函数定义为21)(li)( tftT2.2.9 用算子符号表示微分方程（1）算子符号的基本性质和积分用下述算子符号表示 dtp)(1式中， 称为微分算子， 称为微分逆算子或积分算子。

这样，可以应用微分或积分算子pp1简化表示微分和积分运算例如 )()(txdtfttfpnntdxf)()(1对于微分方程式(2-4)则可表示为 )()()( 011 tyatptypatynn )(1 xbxbxpmm性质 1 以 的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解性质 2 设 A(p)和 B(p)是 的正幂多项式，则 )()( txtxBA性质 3 微分算子方程等号两边 的公因式不能随便消去性质 4 算子的乘除顺序不可以随意颠倒2）用算子符号建立微分方程 对于 LTI 连续系统，其输入输出方程是线性、常系数微分方程，用输入-输出法描述系统时，由式(2-62)可得出输入激励与输出响应之间的关系是)()(txpDNty其中 )(pN011appannD1bbmm令 ， 代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作)(pH)(用，故称 为响应 对激励 的传输算子或系统的传输算子 ty)(tf2.5 典型考试试题解析题 1、 已知系统微分方程为 ，若 ， ，解d2tytf()01y()sin2f(t)tu()得全响应为 ，t≥0。

全响应中 为25sin454tyte(t) 2i45(t)（ ）（a）零输入响应分量 (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量答案：（d）分析：响应中 不含齐次解 ，所以答案(a)(b)(c)都不是2sin45(t)254te题 2、两线性时不变系统分别为 S1 和 S2，初始状态均为零将激励信号 先通过 S1 再()ft通过 S2，得到响应 ；将激励信号 先通过 S2 再通过 S1，得到响应 则1()yt()ft 2y与 的关系为_________________1()yt2t答案： ()y分析：该题是考查级联系统的交换率：两级联系统交换保持不变题 3、计算 ，其中“*”表示卷积d()[(*]tft解： )d()[(]()*t tftftt)*tft题 4、已知信号 和 如图 4 所示 1(x2 1()xtt30322 2()xtt3103图 4试计算 ，并画出 的波形12()()xtxt()xt解： 1*2)t1()()xtt波形如下图： ()xtt01353512题 5、 已知 ，可以求得 （ ）)()(,)(2tuetfutfa)(*21tf(a) (b) (c) (d) 1atet )ateu1()ateu答案(c)分析：采用卷积的定义，直接积分求得题 6、 _________________。