2016年数学花园探秘五年级初赛（解析）-74.pdf

2016 年年““数学花园探秘数学花园探秘””科普活动科普活动 五年级组初试试卷五年级组初试试卷 A 详解详解 一一．．填空题填空题ⅠⅠ（（每小题每小题 8 分分，，共共 32 分分）） 1. 算式?? 1912 19 1912 12 1219 ?? ????? ?? ?? 的计算结果是__________． 【考点】计算，分数计算，整体约分 【难度】★ 【答案】228 【分析】原式 19 1912 12 (19 1912 12) 12 19 ??? ????? ? 12 19 (19 1912 12) 19 1912 12 ? ????? ??? 12 19228??? 2. 有一种细胞，每隔 1 小时死亡 2 个细胞，余下的每个细胞分裂成 2 个．如果经过 8 小时后细胞的 个数为 1284，那么，最开始的时候有__________个细胞． 【考点】计算，数列，递推 【难度】★★ 【答案】9 【分析】 方法一（逆推） ：128422644???，64422324???，32422164???，1642284???， 842244???，442224???，242214???，14229???． 方法二（不动点/通项） ：若有 4 个细胞，则每小时细胞数目均不变，故知通项式为 0 (4)24 n n aa????，故 8 0 1284(4)24a????， 0 9a ?． 3. 如图，一道乘法竖式中已经填出了 2、0、1、6，那么乘积是__________． × 61 2 0 【考点】数字谜，乘法竖式谜 【难度】★★ 【答案】6156 【分析】第二个部分积小于第一个部分积，故第二乘数的十位比个位小，只能是 1．进而第一部分积必 为106□，第二部分积十位（即第一乘数十位）为 0 或 1． 若乘数为 503，则503 126036??，百位不符合进位要求； 若乘数为 508，则508 126036??，百位不符合进位要求； 若乘数为 513，则513 126156??，符合要求； 若乘数为 518，则518 126216??，百位不符合进位要求． 综上，本题有唯一答案 6156． 4. 有一个数列，第一项为 12，第二项为 19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等 于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减较小数） ．那么，这 列数中第__________项第一次超过 2016． 【考点】计算，数列，等差数列 【难度】★★★ 【答案】252 【分析】即奇偶性不同求和，奇偶性相同求差．12、19、31、12、43、55、12、67、79、12、…可见 凡是31n?项都是 12，除去这些项，得到的数列即为首项为 19，公差为 12 的等差数列．第 167 项1912(1671)2011????，第 168 项1912(1681)2023????第一次超过 2016，这个数列的第 168 项是原数列的第16823252? ? ?项． 二二．．填空题填空题ⅡⅡ（（每小题每小题 10 分分，，共共 40 分分）） 5. 四位数双成成双的所有因数中，有 3 个是质数，其它 39 个不是质数．那么，四位数成双双成有 __________个因数． 【考点】数论，因数个数定理及其逆用 【难度】★★★ 【答案】12 【分析】由题意，双成成双恰有三种质因数，其中必有 11，设11x yz pq双成成双 ???， (1)(1)(1)42xyz????，得双成成双最小是 126 11326336???，其他可能值都至少是五位数，故 有唯一解6336双成成双 ?，进而 211 366331137成双双成????，有(21)(1 1)(1 1)12??????个 因数． 6. 右图中，A、B、C、D、E 是正五边形各边的中点，那么，图中共有__________个梯形． E D C BA 【考点】计数，几何计数 【难度】★★★ 【答案】35 【分析】图中有 5 组平行线，例如 AB、EC 及过 D 的边（所在直线设为 l）是一组平行线，AB、EC 之 间枚举知有 2 个梯形；AB、l 之间没有梯形；EC、l 之间枚举知有 5 个梯形，故这组平行线共有 7 个梯形．梯形总数为7535??个． 7. 对于自然数 N，如果在 1～9 这九个自然数中至少有六个数可以整除 N，则称 N 是一个“六合数” ， 则在大于 2000 的自然数中，最小的“六合数”是__________． 【考点】数论，分解质因数 【难度】★★ 【答案】2016 【分析】6 个数中必有偶数，故“六合数”是偶数，枚举知： 200227 11 13????只能被 1、2、7 整除，不符要求； 2 200423 167?? ?只能被 1、2、3、4、6 整除，不符要求； 20062 1759???只能被 1、2 整除，不符要求； 3 20082251??只能被 1、2、4、8 整除，不符要求； 201023 567?? ? ?只能被 1、2、3、5、6 整除，不符要求； 2 20122503??只能被 1、2、4 整除，不符要求； 20142 1953???只能被 1、2 整除，不符要求； 52 2016237???能被 1、2、3、4、6、7、8、9 整除，符合要求． 8. 如图，魔术师在一个转盘上的 16 个位置写下来了 1～16 共 16 个数，四名观众甲、乙、丙、丁参 与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下 一个数，图示是一种可能的选取方式．魔术师睁开眼，说： “选到偶数的观众请举手． ”这时候， 只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声： “我知道你们的选的数了！ ” ，你认为甲和丁选的数的 乘积是__________． 丁 丙 乙 甲 16 1412 4 9 11 10 5 2 8 15 6 13 7 3 1 【考点】组合，进位制，构造 【难度】★★★ 【答案】120 【分析】甲、乙、丙、丁四个人所选数分别为偶数、奇数、奇数、偶数，图中连续的位置只有 10、11、 9、12 符合要求，所以甲、丁所选的数必为 10 和 12，其积为10 12120??．其实连续四个数有 16 种取法，恰好连续四个数的奇偶情况也是 16 种，此图的任何连续四个数的奇偶情况都不同，这是 魔术的数学原理． 三三．．填空题填空题ⅢⅢ（（每小题每小题 12 分分，，共共 48 分分）） 9. 正八边形边长是 16，那么阴影部分的面积是__________． 【考点】几何，正八边形 【难度】★★★★ 【答案】512 【分析】如图，连接正八边形的对角线，可知其中 12 SS?， 34 SS?，所以图中左、右两个阴影部分的 面积之和等于中间正方形的面积，也就是16 16256??．同理，上、下两个阴影部分的面积之和也 等于 256．所以阴影部分的总面积是2562512??． S4S3S2S1 10. 某城市早 7:00 到 8:00 是高峰时段，所有车辆的行驶速度变为原来的一半．每天早上 6:50，甲、乙 两人从这城市的 A、B 两地同时出发，相向而行，在距离 A 地 24 千米的地方相遇．如果乙早出发 20 分钟，两人将在距离 A 地 20 千米的地方相遇；如果甲晚出发 20 分钟，两人恰好在 AB 中点相 遇．那么，AB 两地相距__________千米． 【考点】行程，方程行程 【难度】★★★★ 【答案】42 【分析】同时出发的情况中，由于两人要减速也是同时减速（当然也许两人并未减速过） ，故无论哪个 时段， 甲乙的速度比是固定的， 所以任意时段行走的距离比也是固定的． 总之， 相遇点左、 右距 A、 B 的距离比代表了两人的初始速度比． 乙先行的情况中， 乙所先行的 20 分钟是以原速运动的， 之后的过程类似上一段分析． 故设甲、 乙原速分别为 x、y 千米每分，全长 S 千米，有方程： 2420 242020 x ySSy ?? ??? ，得120Sy?． 甲晚行的情况中，乙先以原速独行了 10 分钟，又以原速的一半独行了 10 分钟，之后的过程 类似第一段分析．有方程： 240.5 241050.5 xS ySSyyS ?? ???? ，即 24 2430 S SSy ? ?? ，将120Sy?代 入，得 14 513y ? ? ，故207y ?，12042Sy??． 11. 在空格里填入数字 1～5，使得每行和每列数字不重复．每个除法从上向下或者从左到右运算都能 够整除．问：第二行的前三个数依次是__________． 【考点】数独 【难度】★★ 【答案】531 【分析】 首先确定下图 1 中的数字； 再确定出下图 2 中的数字； 最终填出此图中所有的数字 （如图 3） ． 所 以所求的三个数依次为 531． 图 1 图 2 图 3 。