0201随机信号分析讲义教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*1随机信号分析内容结构 引言； 随机过程的一般描述； 平稳随机过程； 高斯过程（正态随机过程）； 窄带随机过程； 余弦波加窄带高斯噪声； 随机过程通过线性系统；引言 随机信号： 某个或某几个参量不能被预知或不能完全被预知的信号 随机噪声： 不能被预测的噪声随机过程的基本概念 在观察区间内，随机过程是时间的函数，每次观察结果（即每次实现）均可视为一个样本，无数次的结果亦即无数个样本构成了随机过程的样本空间； 在任一时刻上观察到的样值是不确定的，是一个随机变量，在观察区间内与每一时刻相对应的随机变量的全体构成了随机过程的样本空间；随机过程的基本概念 随机变量与随机过程二者最大的区别在于：随机变量的样本空间是一个实数集合，而随机过程的样本空间是一个时间函数的集合或是一个随机变量的集合分布函数与概率密度函数 随机过程 的一维分布函数： 随机过程 的一维概率密度函数：分布函数与概率密度函数 随机过程 的n维分布函数： 随机过程 的n维概率密度函数： n越大，对随机过程的描述越充分随机过程的数学期望（均值） 反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）随时间的变化情况； 本质上就是随机过程所有样本函数的统计平均函数； 它由随机过程的一维概率分布决定； 表征了随机信号的直流分量；随机过程的方差 反映了随机过程在任意时刻 t 相对于均值的偏离程度； 它由随机过程的一维概率分布决定；随机过程的方差 表征了随机信号的交流平均功率； 随机过程的数学期望（均值）和方差仅描述了各孤立时刻的统计特性，无法反映不同时刻之间的联系，为此引入了自相关函数和自协方差函数，用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性；随机过程的自相关函数随机过程的自协方差函数平稳随机过程 狭义平稳（或严平稳）随机过程； 广义平稳（或宽平稳）随机过程； 平稳随机过程的“各态历经性”； 平稳随机过程的自相关函数； 平稳随机过程的功率谱密度；狭义平稳随机过程 平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数 ，平稳随机过程 的n维概率密度函数满足：狭义平稳随机过程 平稳随机过程的一维分布与时间 t 无关，二维分布仅与时间间隔 有关，即：广义平稳随机过程 平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间 隔 有关，即： 除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。

平稳随机过程的“各态历经性” 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，即平稳随机过程的任一实现均经历了随机过程的所有可能状态，因而我们可以用任一实现的统计特性来描述平稳随机过程的统计特性，进而通过任一实现的时间平均特性得到平稳随机过程的统计平均特性平稳随机过程的“各态历经性”平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程 的自相关函数 具有以下重要特性： （ 具有上界） （ 是偶函数） （ 的平均功率）（ 的直流平均功率）（ 的交流平均功率）平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程 的功率谱密度 与其自相关函数 是一对傅利叶变换关系，即： 是一个非负的偶函数，且 的平均功率 S 满足：高斯过程（正态随机过程） 高斯过程（正态随机过程）的性质； 高斯过程（正态随机过程）的一维分布： 一维概率密度函数； 一维分布函数；高斯过程的性质 对高斯过程 在 时刻观 察得到的一组随机变量 ，其n 维联合概率密度函数仅由各随 机变量的数学期望、方差和两两之 间的归一化协方差函数决定 高斯过程宽平稳亦即严平稳 若高斯过程中的各随机变量两两之高斯过程的性质 间相互统计独立，则：高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数 关于 对称，即： 在 内单调上升，在 内单调下降，在 处有最大值 ，当 时， ； ，且有：高斯过程的一维概率密度函数 对不同的 （固定 ），表现为 的图形左右平移；对不同的 （固定 ）， 的图形将随 的减小变高变窄。

当 时，即正态分布的标准化：高斯过程的一维分布函数 其中： 为误差函数；高斯过程的一维分布函数 为互补误差函数； 误差函数与互补误差函数的性质；误差函数与互补误差函数的性质 在 内单调上升； 是奇函数，即： 且 在 内单调下降； 且窄带随机过程 窄带随机过程及其描述； 零均值平稳窄带高斯过程； 通信中常见噪声的特性；窄带随机过程及其描述 若随机过程 的频谱被限制在某 个远离零频率的中心频率附近一个窄的频带范围内，则称之为窄带随机过程，即：窄带随机过程及其描述 其中： 和 分别是窄带随机 过程 的包络函数和随机相位函 数， 和 分别称为 的同相 分量和正交分量，且：窄带随机过程及其描述零均值平稳窄带高斯过程 一个均值为 0 ，方差为 的平稳窄带高斯过程 ，其同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程，且均值都为 0 ，方差均为 ，即： 另外，在同一时刻得到的 和 是相互统计独立的零均值平稳窄带高斯过程 一个均值为 0 ，方差为 的平稳 窄带高斯过程 ，其包络 的 一维分布是瑞利分布，相位 的 一维分布是均匀分布，且就一维分布而言，在同一时刻得到的 和 是相互统计独立的，即：零均值平稳窄带高斯过程通信中常见噪声的特性 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，即： 可见，白噪声在任意两 个不同时刻得到的随机 变量相互统计独立。

通信中常见噪声的特性 带限白噪声：白噪声的功率谱密度被限制在某一频段范围内，超出该范围则为零，即：通信中常见噪声的特性 可见，带限白噪声只在 上得到的随机变量才相互统计独立通信中常见噪声的特性 若噪声的任意 n 维分布都服从高斯分布，则称之为高斯噪声 若高斯噪声的功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的，则称之为高斯白噪声；若其功率谱密度被限制在某一频段范围内，超出该范围即为零，则称之为带限高斯噪声余弦波加窄带高斯噪声余弦波加窄带高斯噪声 包络 的一维分布服从广义瑞利分布（莱斯分布），即：余弦波加窄带高斯噪声 其中： 为零阶修正贝塞尔函数，当 时， 单调上升，且 ； 若 A = 0 , 则 为瑞利分布 相位 的一维分布与信道中的信噪比有关；若 A = 0 , 则为均匀分布 若 确定，则同相分量 和正交分量 均为平稳高斯过程，且：余弦波加窄带高斯噪声 则：随机过程通过线性系统 输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与H(0)之积；表征了平稳随机过程通过线性系统后，输出的直流分量等于输入系统的直流分量与系统直流传递函数之积，即：随机过程通过线性系统 平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的。

平稳随机过程通过线性系统后，输出平稳随机过程的功率谱密度是输入随机过程的功率谱密度与系统传递函数的模平方的乘积，即：随机过程通过线性系统 高斯过程通过线性系统后，输出随机过程仍是高斯型的，但与输入高斯过程相比，它的数字特征可能已经发生变化了。