42异面直线所成的角、线面角、二面角的证明140题（8种常见考法+培优争分练）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）.docx

专题03异面直线所成的角、线面角、二面角的证明140题（8种常见考法+培优争分练）考法一：利用异面直线所成的角证明异面直线垂直考法二：求异面直线所成的角 考法三：由异面直线所成的角求其它量考法四：求线面角考法五：由线面角的大小求长度 考法六：求二面角考法七：由二面角的大小求长度或距离考法八：由二面角的大小求异面直线所成的角考法一：利用异面直线所成的角证明异面直线垂直1．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.2．（2023高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：.4．（2022·安徽蚌埠·三模）《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除中，是边长为1的正方形，且，均为正三角形，棱平行于平面，.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.5．（2022高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持，在图中画出点的运动轨迹．6．（21-22高一下·安徽·阶段练习）《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2．(1)求证：AE⊥CF；(2)求三棱锥A-BCE的体积．7．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.(1)求证：平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.8．如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.9．（2022·河南郑州·二模）如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且.(1)求证；(2)求三棱锥的体积.10．（21-22高一上·陕西商洛·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，．(1)证明：．(2)若，求四棱锥的体积．11．（21-22高一上·陕西延安·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面．考法二：求异面直线所成的角12．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，为侧面的中心，是平面的中心，求和所成的角．  13．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：  (1)点到的距离；(2)求异面直线与所成的角.14．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在三棱锥中，分别为的中点，求与所成的角．15．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，若分别是的中点，且和所成的角为，求和所成的角．  16．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．  (1)求证：E、F、C、四点共面：(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．17．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．(1)求异面直线与所成角的正切值；(2)求三棱锥的全面积.18．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.  (1)求证：；(2)若，求异面直线与所成的角的大小.19．（20-21高一上·河南许昌·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.  (1)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；(2)在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.20．（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.  (1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.21．（22-23高一下·新疆昌吉·阶段练习）如图，平面四边形中，，，，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，且.  (1)若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；(2)证明：平面平面；考法三：由异面直线所成的角求其它量22．（21-22高一下·上海闵行·期末）在空间四边形中，、分别为、的中点.(1)当异面直线与所成角为，求的长；(2)当时，求异面直线与所成角的大小.23．（20-21高一下·四川成都·阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.(1)求异面直线BE和所成角的正切值.(2)求三棱锥的体积.24．（22-23高一下·全国·课时练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.  25．（21-22高一·全国·课时练习）如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长．26．（21-22高一·全国·课后作业）圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米，已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°，求：(1)直线与圆柱的轴所成角的正切值；(2)线段的长．27．（22-23高一·全国·课时练习）已知圆锥底面积半径，半径与母线垂直，是的中点，与所成角的大小为，求圆锥的体积．28．（22-23高一·全国·课时练习）如图，是圆柱的母线，线段的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴所成的角为，且，轴到平面的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积.29．（2023·陕西·模拟预测）如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.30．（2023·江西南昌·三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．31．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．  (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．32．（2022·新疆克拉玛依·三模）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若与所成角为，求三棱锥的体积.33．（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）（1）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点.求证：平面平面.（2）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长度.34．（21-22高一下·湖南·期末）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.(1)证明：平面；(2)若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.35．（21-22高一·全国·课时练习）如图，在空间四边形中，已知，，，对角线，，、分别为、的中点．(1)求线段的长度；(2)求直线和所成角．36．（2023·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．(1)求证：平面；(2)若直线与所成的角大小为，求的长．考法四：求线面角37．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求证：；(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．38．（23-24高二上·重庆·期末）在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．(1)证明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．39．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.  40．（23-24高二上·云南玉溪·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，M为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．41．（22-23高三下·全国·阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.42．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．43．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.44．（22-23高二下·湖南岳阳·期中）在四棱锥中，，，，，，平面，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．45．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.  (1)求三棱锥的体积；(2)求证：BC⊥平面；(3)求直线PC与平面所成角的正切值.46．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，直三棱柱体积为，为的中点，的面积为.(1)求到平面的距离；(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.47．（2023·陕西·模拟预测）三棱柱中，为中点，．  (1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．48．（21-22高二上·天津静海·阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的余弦值．49．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，棱长为3的正四面体中，D，M分别为AB，PC的中点.  (1)证明：平面平面；(2)若过点A，M的平面与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ。