材料成型自动控制基础材料成型自动控制基础第2章控制系统的数学模型.pdf

2011年3月14日星期一1 材料成形自动控制基础材料成形自动控制基础 张福波 Email: 第2章 控制系统的数学模型 6学时6学时 2.1-2.2微分方程及拉氏变换 22011年3月14日星期一 本章主要内容本章主要内容 线性系统微分方程的建立线性系统微分方程的建立 非线性模型的线性化方法非线性模型的线性化方法 Laplace变换的定义及性质Laplace变换的定义及性质 传递函数的定义及性质传递函数的定义及性质 控制系统中的典型环节及其传递函数控制系统中的典型环节及其传递函数 系统方框图及其简化系统方框图及其简化 32011年3月14日星期一 在自动控制系统的设计中，为了使所设计的闭环 自动控制系统的暂态性能满足要求，必须对系统 的暂态过程在理论上进行分析，掌握其内在规律 用来描述系统暂态过程的数学表达式便称为系统 的数学模型常用的数学模型有：微分方程、传 递函数、结构框图、信号流图等 建立系统数学模型的常用方法：理论分析法 系统辨识法可以兼用理论分析和系统辨识法 在自动控制系统的设计中，为了使所设计的闭环 自动控制系统的暂态性能满足要求，必须对系统 的暂态过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。

用来描述系统暂态过程的数学表达式便称为系统 的数学模型常用的数学模型有：微分方程、传 递函数、结构框图、信号流图等 建立系统数学模型的常用方法：理论分析法 系统辨识法可以兼用理论分析和系统辨识法 P12、P13 42011年3月14日星期一 线性系统：能够用线性微分方程描述的系统若该 线性微分方程中的系数是常数，相应的系统称线性 定常系统；若这些系数是时间或输入的函数，相应 的系统称为线性时变系统； 如果系统只有一个输入量和一个输出量，相应的系 统称为单输入单输出系统（SISO）经典控制理论 研究的对象就是线性定常单输入单输出系统 非线性系统：只能够用非线性微分方程描述的系统 称为非线性系统 线性系统：能够用线性微分方程描述的系统若该 线性微分方程中的系数是常数，相应的系统称线性 定常系统；若这些系数是时间或输入的函数，相应 的系统称为线性时变系统； 如果系统只有一个输入量和一个输出量，相应的系 统称为单输入单输出系统（SISO）经典控制理论 研究的对象就是线性定常单输入单输出系统 非线性系统：只能够用非线性微分方程描述的系统 称为非线性系统 52011年3月14日星期一 线性系统的特点：可以应用叠加原理。

叠加原理 包含两方面的内容，即可加性和均匀性 线性系统的特点：可以应用叠加原理叠加原理 包含两方面的内容，即可加性和均匀性 线性系统线性系统 )(2txi)(2txo 线性系统线性系统 )(1txi)(1txo 线性系统线性系统 )()(21txtxii)()(21txtxoo 可加性：可加性： 线性系统线性系统 )(1txki)(1txko均匀性：均匀性： 62011年3月14日星期一 io oo uu dt du RC dt ud LC 2 2 dt du Ci o 由：，代入得： 这是一个线性定常二阶微分方程 iuidt C Ri dt di L 1 dti C ou 1 解：据基尔霍夫电路定理： iu输入 ou输出 iuou LR C i 例2-1：写出RLC串联电路的微分方程 72011年3月14日星期一 解：图1和图2分别为系 统原理结构图和质量块 受力分析图图中，m为 质量，f为粘性阻尼系 数，k为弹性系数 m f m F F x f x m 图2图1 x k kx Fkxx fxm mNmsNkg/,/., 根据牛顿第二定律，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个二阶定常微分方程。

x为输出量，F为输入量 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为： 例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微 分方程输入量为外力F，输出量为位移x 例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微 分方程输入量为外力F，输出量为位移x 82011年3月14日星期一 需要讨论的几个问题需要讨论的几个问题： 1、相似系统：、相似系统： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的 可见，不同类型的系统可以有相同形式的数学模型不同类型的系统可以有相同形式的数学模型 定义定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统 作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模 拟相对复杂的系统，实现仿真研究 92011年3月14日星期一 2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该 系统为线性定常系统在经典控制领域，主要研究线性定常 控制系统其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即 系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到 而非线性系统不能用线性叠加原理在经典控制领域对非线 性环节的处理能力是很小的但在工程应用中，除了含有强 非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近 似的线性化方法。

对于非线性方程，在工作点附近用泰勒级 数展开，取前面的线性项，可以得到近似的线性方程 2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该 系统为线性定常系统在经典控制领域，主要研究线性定常 控制系统其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即 系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到 而非线性系统不能用线性叠加原理在经典控制领域对非线 性环节的处理能力是很小的但在工程应用中，除了含有强 非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近 似的线性化方法对于非线性方程，在工作点附近用泰勒级 数展开，取前面的线性项，可以得到近似的线性方程 102011年3月14日星期一 采用拉氏变换的方法，把微分方程转化为简单的代数方程， 把复杂的微分方程求解及分析过程转变为对代数方程的求解 及分析过程，大大方便了应用 以微分方程为基础来分析控制系统的性能，最直接的方法就 是求解微分方程，获得被控量的时间函数曲线，然后 根据该曲线对系统的性能进行评价 采用拉氏变换的方法，把微分方程转化为简单的代数方程， 把复杂的微分方程求解及分析过程转变为对代数方程的求解 及分析过程，大大方便了应用。

以微分方程为基础来分析控制系统的性能，最直接的方法就 是求解微分方程，获得被控量的时间函数曲线，然后 根据该曲线对系统的性能进行评价 )( 0 tx 3、线性系统微分方程的一般表达式为：3、线性系统微分方程的一般表达式为： 00 0 1 1 0 1 1 0 .xa dt dx a dt xd a dt xd a n n n n n n )(. 011 1 1 mnxb dt dx b dt xd b dt xd b i i m i m mm i m m 112011年3月14日星期一 0 )(dtetf st )()( 1 sFLtf 一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： t0时，f(t)=0； t0时，f(t)连续或分段连续； F(s) 象函数，f(t) 原函数 记为反拉氏变换 4、复习拉氏变换、复习拉氏变换 0 )()()(dtetfsFtfL st 定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，当t0 时，f(t)=0；当t0时，f(t)的拉式变换定义为： jws式中s为复数， 122011年3月14日星期一 例2-3：单位阶跃函数的拉式变换 单位阶跃函数定义为， 例2-3：单位阶跃函数的拉式变换 单位阶跃函数定义为， 0,1 0,0 t t 1(t) 由拉式变换的定义得，由拉式变换的定义得， ss e dtetL st st 1 |1)( 1 0 0 132011年3月14日星期一 例2-4：单位斜坡函数的拉式变换 单位斜坡函数定义为， 例2-4：单位斜坡函数的拉式变换 单位斜坡函数定义为， 0, 0,0 tt t f(t) 由拉式变换的定义得，由拉式变换的定义得， 00 0 )(|)(dt s e s e tdtettfL stst st 2 0 2 0 1 | 1 0 s e s dt s e st st 142011年3月14日星期一 常用函数的拉式变换常用函数的拉式变换 152011年3月14日星期一 162011年3月14日星期一 )()()()( 2121 sFsFtftfL 线性性质： )()( )( sFstfL nn 微分定理：若f(t)及其小于n-1的各阶导数的初值均为 零，则有， n n tt s sF dfL )( )( )(. 00 积分定理：若f(t)及其各重积分的初值均为零，则有， 拉式变换的性质：拉式变换的性质： 172011年3月14日星期一 )()(sFeatfL as 时滞定理： )()(asFtfeL at 复数域的位移定理： atdtatfeatfL st ，设 0 )()( 0 )( )( dfe as 0 )( dfee sas )(sFe as dtetfetfeL statat )()( 0 )()( 0 )( asFdtetf tas 182011年3月14日星期一 )(lim)(lim 0 ssFtf st 终值定理： )(lim)(lim 0 ssFtf st 初值定理： 192011年3月14日星期一 工程应用中常采用部分分式法，先将一个复杂的象 函数变成若干个简单的标准形式象函数之和，然后 通过查表，分别查出各个标准象函数的原函数，其 和即为所求。

工程应用中常采用部分分式法，先将一个复杂的象 函数变成若干个简单的标准形式象函数之和，然后 通过查表，分别查出各个标准象函数的原函数，其 和即为所求 202011年3月14日星期一 212011年3月14日星期一 222011年3月14日星期一 232011年3月14日星期一 242011年3月14日星期一 252011年3月14日星期一 262011年3月14日星期一 272011年3月14日星期一 282011年3月14日星期一 292011年3月14日星期一 302011年3月14日星期一 312011年3月14日星期一 322011年3月14日星期一 例：求象函数的拉氏反变换例：求象函数的拉氏反变换 ) 3()2( 1 )( 3 sss sF 32)2()2( )( 3213 2 12 3 11 s k s k s k s k s k sF解：解： 2 1 )2( )3()2( 1 2 3 3 11 s s sss k 4 1 )2( )3()2( 1 2 3 3 12 s s sssds d k 8 3 )2( )3()2( 1 ! 2 1 2 3 32 2 13 s s sssds d k 332011年3月14日星期一 24 1 )3()2( 1 0 32 s s sss k 3 1 )3( )3()2( 1 3 3 3 s s sss k 3 3/124/1 2 8/3 )2( 4/1 )2( 2/1 )( 23 sssss sF )(1) 3 1 24 1 8 3 4 1 !2 1 2 1 ()( 32222 teeteettf tttt )(1 3 1 24 1 ) 8 3 4 1 4 1 ( 322 tette tt 。