自控原理(第四章).ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 Introduction • The basic concept of the root-locus • The general rules for constructing root- locus Emphases • System analysis by using root-locus method 4-1 根轨迹法的基本概念 主要内容： 根轨迹概念 根轨迹与系统性能 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 根轨迹方程 根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法 ，使用十分简便，特别在进行多回路系统的分析时，应用 根轨迹法比用其它方法更为方便，因此在工程实践中获得 了广泛应用 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能 之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关 系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化 为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘 制简单系统的根轨迹 1. 根轨迹概念 根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无 穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹 当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式 的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点。

因此，从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数 来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式 的求根问题 当特征方程的阶数高于四阶时，求根过程是比较复杂 的如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响 ，就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响 趋势因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得 很不方便 1948年，W. R伊文思在“控制系统的图解分析”一文中 提出了根轨迹法当开环增益或其它参数改变时，其全部 数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定 因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统 的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位 置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时 间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样 变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求 除此而外，用根轨迹法求解高阶代数方程的根，比用 其它近似求根法简便 下面具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图4-1所示 ，其闭环传递 函数为： 于是特征方程式可写为： 显然特征方程式的根是： 如果令开环增益 K 从零变到无穷，可以用解析的方法 求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在 s 平面上， 并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。

图中，粗实线就是系 统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着 K 值的增加，根轨 迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相对 应的开环增益  的数值 2.根轨迹与系统性能 有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能下面 以图4-2为例进行说明： （1）稳定性 当开环增益从零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越 过虚轴进入右半 s 平面，因此图 4-1 系统对所有的值都是 稳定的，这与我们在第3-4节所得出的结论完全相同如果 分析高阶系统的根轨迹图， 那么根轨迹有可能越过虚轴进 入 s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的值，就是临界 开环增益 （2）稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系 统属 I 型系统，因而根轨迹上的 K 值就是静态误差系数如 果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹可以确定闭环极点 位置的容许范围 在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增 益，而是所谓的根轨迹增益下面将要指出，开环增益和根 轨迹之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算对于其 他参数变化的根轨迹图，情况是类似的 （3）动态性能 由图4-2可见，当 00.5 时，所有闭环极点都位于 实轴上，系统为过阻尼系统（1） ，单位阶跃响应为非 周期过程；当=0.5，闭环两个实数极点重合，系统为临 界阻尼系统（=1），单位阶跃响应仍为非周期过程，但 响应速度较 00.5 情况为快；当 0.5 时，闭环极点 为复数极点，系统为欠阻尼系统（0m的一般 情况下，可以有不同形式的表示： 式中 为闭环特征根。

当n-m≥2时，特征方程第二项系数与K*无关，无论 K* 取 何 值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之 和： 开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数所以 ，当开环增益 K 增大时，若闭环某些根在 s 平面上向左 移动，则另一部分根必向右移动 此法则对判断根轨迹的走向是很有用的 2. 闭环极点的确定 对于特定K*值下的闭环极点，可用模值条件确定 一般说来，比较简单的方法是先用试探法确定实 数闭环极点的数值，然后用综合除法得到其余的闭环 极点如果在特定K*值下，闭环系统只有一对复数极 点，那么可以直接在概略根轨迹图上，用上述方法获 得要求的闭环极点 [例4-5] 在图4-13上，试确定K* =4 的闭环极点 [解] 图4-13上的根轨迹是准确的由于m=0, n=4，所以模 值条件为： 对于本例，应有： 在实轴上任选s点，经过几次简单试探，找出满足上式的两 个闭环实数极点为： 各向量模值的取法，见图4-14 因为系统特征方程为（见书上第150页例4-4）： 应用综合除法，即： 所以，若将K* =4，s1 = 2，s2 = 2.51代入上述特征方程 ，即可得： 可得： 几种常见的开环零、极点分布及其相应的根轨迹 ： 4-3 广义根轨迹 参数根轨迹 环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹 零度根轨迹 在控制系统中，除根轨迹增益 K* 以外，其他情形下的 根轨迹统称为广义根轨迹。

包括： 通常，将负反馈系统中K*变化时的根轨迹叫做常规根 轨迹 1. 参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根 轨迹，以区别于以开环增益K为可变参数的常规根轨迹 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完 全相同只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反 馈系统和等效传递函数的概念，则常规根轨迹的所有绘 制法则，均适用于参数根轨迹的绘制为此，需要对闭 环特征方程： （4-26 ） 进行等效变换 将其写成如下形式： （4-27） （4-28） 根据式（4-28），可得等效单位反馈系统，其开环传递 函数为： （4-29） 其中，为除K*外，系统任意的变化参数，而P(s)和Q(s) 为两个与无关的首一多项式显然，式（4-27）应与 式（4-26）相等，即： 利用式（4-29）画出的根轨迹，就是参数 A 变化 时候的参数根轨迹 需要强调指出，等效开环传递函数是根据式（4-28 ）得来的，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点 上成立，而闭环零点一般是不同的由于闭环零点对系 统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和 估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点， 但必须采用原来闭环系统的零点。

这一处理方法和结论 ，对于绘制开环零极点变化时的根轨迹，同样适用 [例 4-6] 设位置随动系统如图4-16所示图中，系统I为比例控 制系统，系统II为比例-微分控制系统，系统III为测速反馈控制 系统，Ta表示微分器时间常数或测速反馈系数试分析 Ta 对系 统性能的影响，并比较系统 II 和 III 在具有相同阻尼比=0.5时 的有关特点 [解] 显然，系统II和系统III具有相同的开环传递函数，即 ： 但它们的闭环传递函数是不相同的，即： （4-30 ） （4-31 ） 从式 (4-30) 和式 (4-31) 可以看出，两者具有相同的闭环极点( 在Ta相同时)，但是系统II具有闭环零点(1/ Ta)，而系统III不 具有闭环零点 现在将系统 II 或 III 的闭环特征方程式： （4-32 ） 如果令： 则式 (4-32) 代表一个根轨迹方程，其根轨迹如图4-17所示 图中，当Ta =0时（对应两条根轨迹的起点），闭环极点位 置为：S1, 2= 0.1j0.995，它也是系统 I 的闭环极点（因为 Ta =0时，系统 II 和系统 III 都变成了系统 I） 写成： 和 而系统 I 的闭环传递 函数与Ta值无关，应是： 为了确定系统 II 和 III 在 =0.5 时的闭环传递函数，在图4-17 中作  =0.5 线（参看书上P88页式（3-18）和图3-11），可得 闭环极点为 S1, 2= 0.5 j0.87，相应的 Ta 值由模值条件算出为 0.8，于是有： 上述三种单位阶跃响应曲线，如图4-18所示。

各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定为： 由图可见，对于系统 II ，由于微分控制反映了误差 信号的变化率，能在误差信 号增大之前，提前产生控制 作用，因此具有良好的时间 响应特性，呈现最短的上升 时间，快速性较好；对于系 统III，由于速度反馈加强了 反馈作用，在上述三个系统 中，具有最小的超调量 如果位置随动系统承受单位斜坡输入信号，则同样可由 拉氏反变换法确定它们的单位斜坡响应： （4-33） （4-34） 此时，系统将出现速度误差，其数值为 essII=0.2 和 essIII=1.0 系统 I 的速度误差，可利用终值定理法求出为essI=0.2根据 式（4-33）和（4-34），可以画出系统Ⅱ和Ⅱ的单位斜坡响 应，见图4-19 最后，将位置随动系统的性能比较结果，列于表4-2 [例4-7] 设单位反馈系统的开环传递函数为： 其中开环增益K可自行选定试分析时间常数Ta对系统性能 的影响 [解] 由已知开环传递函数，可得闭环特征方程为： 上式可改写如下： 令A=Ta，Q(s)=s(s+1)+K，P(s)=s2(s+1)，得等效开环传递函 数： 为了绘制参数根轨迹，需要求出G1(s)的极点。

对于本 例而言，等效开环传递函数的极点为： 等效开环传递函数的极点为：z1= z2= 0，z3= 1 由于K 可自行选定，因此可以取 K 为不同值，然后将G1(s)的 零、极点画在s 平面上，再令Ta 从零变到无穷，便可绘出 Ta 变化 时的参数根轨迹，见图4-20该图实际上是 K 和 Ta 均可变化的根 轨迹簇由图可见：Ta≥1 时，开环增益K应小于2，否则闭环系 统不稳定；当1≥K＞0时，取任何正实数Ta 时系统都是稳定的 图 4-20 根轨迹簇还给我们指明了这样的事实：对于给 定的开环增益K，如果增大 Ta 值，将使可变开环极点（即 根轨迹的起点）向坐标原点方向移动，那么闭环极点就会 向右半 s 平面方向移动，从而使系统的稳定性变坏 当开环增益K  0.25时， G1(s)具有实数极点，参数根 轨迹如图4-21所示图中选取的K = 0.098由图可见，取 任何Ta值都不会使闭环系统失去稳定，而且有可能使系统 过渡过程不发生振荡然而，由于开环增益太小，系统在 单位斜坡输入函数作用下的稳态误差值将至少等于 4 2. 附加开环零点的作用 在控制系统设计中，我们常用附加位置适当的开环零点 的方法来改善系统性能。

因此，研究开环零点变化时的根轨 迹变化，有很大的实际意义 设系统开环传递函数为： （4-35 ） 式中，z1为附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意 选择当z1 时，表示有限零点z1不存在的情况 令z1为不同数值，对应于式(4-35)的闭环系统根轨迹如 图 4-22 所示由图可见，当开环极点位置不变，而在系统 中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向 s 左半平面 方向弯曲，或者说，附加开环负实数零点， 将使系统的根 轨迹图发生趋向附加零点方向的变形， 而且这种影响将随 开环零点接近坐标原点的程度而加强 如果附加的开环零 点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点， 那么它 们的作用与负实数零点的作用完全相同此外，根据图 4- 22，利用劳思判据的方法不难证明, 当z12时，系统的根 轨迹与虚轴存。