2019届高三数学(理)人教版一轮训练:第八篇第4节 双曲线
12页1、第 4 节 双曲线 【选题明细表】 知识点、方法题号 双曲线的定义及标准方程 2,4,6 双曲线的几何性质 1,3,5,9 双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应 用 7,8,10,11,12,13,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于( D ) (A)(B)(C)2(D)4 解析:双曲线的方程可化为 x2-=1, 所以实轴长为 2,虚轴长为 2, 所以 2=2(2),解得 m=4.故选 D. 2.已知双曲线 C:-y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线 与双曲线 C 的右支相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则PF1Q 的周长为( D ) (A)4 (B) (C)5(D) 解析:由双曲线方程得 a2=3,b2=1, 所以 c2=a2+b2=4, 所以 c=2,所以右焦点 F2(2,0), 因为 xP=2 且 PQ 过点 F2, 所以 PQx 轴,如图, 由此得|PF1|+|PF2|=, 所以PF1Q 的周长为 2(|PF1|+|PF2|)=.故选 D. 3.(2016全国卷)已知 F
2、1,F2是双曲线 E:-=1 的左、右焦点, 点 M 在 E 上,MF1与 x 轴垂直,sinMF2F1=,则 E 的离心率为( A ) (A)(B)(C)(D)2 解析:由题不妨设|MF1|=1,|MF2|=3, 则 c=,a=1,得 e=.故选 A. 4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( A ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距 c=3,圆的半径是 2,双 曲线的渐近线方程是 bxay=0,根据已知得=2,即=2, 解得 b=2,则 a2=32-22=5, 故所求的双曲线方程是-=1.故选 A. 5.(2017佳木斯市三模)椭圆 C:+=1 与双曲线 E:-=1(a,b0) 有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜 角的正弦值为( D ) (A)(B)(C)(D) 解析:椭圆 C:+=1 的焦点坐标为(1,0),离心率为. 双曲线 E:-=1(a,b0)的焦点为(1,0),c=1, 双曲线的离
3、心率为椭圆的倒数,所以为 2. 由 e=,即 2=,得 a=, 则 b=,双曲线渐近线为 y=x, 设渐近线的倾斜角 ,则 tan =, 所以 =60或 120, 所以 sin =.故选 D. 6.已知双曲线-y2=1 的左、右焦点为 F1,F2,点 P 为左支上一点,且 满足F1PF2=60,则F1PF2的面积为 . 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,在F1PF2中由余弦定理得 m2+n2-2mncos 60=(2c)2, 由双曲线定义得 n-m=2a, 联立化为 所以 mn=4,所以=mnsin 60=. 答案: 7.已知 F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过 F2作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 P 和 Q.且F1PQ 为正三角形,则双曲线的渐近 线方程为 . 解析:法一 设 F2(c,0)(c0),P(c,y0), 代入双曲线方程得 y0=, 因为 PQx 轴,所以|PF2|=. 在 RtF1F2P 中,PF1F2=30, 所以|F1F2|=|PF2|,即 2c=. 又因为 c2=a2+b2,所以 b2=2a2或 2a2=-3b2(舍去). 因为 a0,b
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