2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第4节 双曲线
第 4 节 双曲线 【选题明细表】 知识点、方法题号 双曲线的定义及标准方程 2,4,6 双曲线的几何性质 1,3,5,9 双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应 用 7,8,10,11,12,13,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于( D ) (A)(B)(C)2(D)4 解析:双曲线的方程可化为 x2-=1, 所以实轴长为 2,虚轴长为 2, 所以 2=2(2),解得 m=4.故选 D. 2.已知双曲线 C:-y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线 与双曲线 C 的右支相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则PF1Q 的周长为( D ) (A)4 (B) (C)5(D) 解析:由双曲线方程得 a2=3,b2=1, 所以 c2=a2+b2=4, 所以 c=2,所以右焦点 F2(2,0), 因为 xP=2 且 PQ 过点 F2, 所以 PQx 轴,如图, 由此得|PF1|+|PF2|=, 所以PF1Q 的周长为 2(|PF1|+|PF2|)=.故选 D. 3.(2016·全国卷)已知 F1,F2是双曲线 E:-=1 的左、右焦点, 点 M 在 E 上,MF1与 x 轴垂直,sinMF2F1=,则 E 的离心率为( A ) (A)(B)(C)(D)2 解析:由题不妨设|MF1|=1,|MF2|=3, 则 c=,a=1,得 e=.故选 A. 4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( A ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距 c=3,圆的半径是 2,双 曲线的渐近线方程是 bx±ay=0,根据已知得=2,即=2, 解得 b=2,则 a2=32-22=5, 故所求的双曲线方程是-=1.故选 A. 5.(2017·佳木斯市三模)椭圆 C:+=1 与双曲线 E:-=1(a,b0) 有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜 角的正弦值为( D ) (A)(B)(C)(D) 解析:椭圆 C:+=1 的焦点坐标为(±1,0),离心率为. 双曲线 E:-=1(a,b0)的焦点为(±1,0),c=1, 双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以为 2. 由 e=,即 2=,得 a=, 则 b=,双曲线渐近线为 y=±x, 设渐近线的倾斜角 ,则 tan =±, 所以 =60°或 120°, 所以 sin =.故选 D. 6.已知双曲线-y2=1 的左、右焦点为 F1,F2,点 P 为左支上一点,且 满足F1PF2=60°,则F1PF2的面积为 . 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,在F1PF2中由余弦定理得 m2+n2-2mncos 60°=(2c)2, 由双曲线定义得 n-m=2a, 联立化为 所以 mn=4,所以=mnsin 60°=. 答案: 7.已知 F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过 F2作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 P 和 Q.且F1PQ 为正三角形,则双曲线的渐近 线方程为 . 解析:法一 设 F2(c,0)(c0),P(c,y0), 代入双曲线方程得 y0=±, 因为 PQx 轴,所以|PF2|=. 在 RtF1F2P 中,PF1F2=30°, 所以|F1F2|=|PF2|,即 2c=·. 又因为 c2=a2+b2,所以 b2=2a2或 2a2=-3b2(舍去). 因为 a0,b0,所以=. 故所求双曲线的渐近线方程为 y=±x. 法二 设 F2(c,0),由题意 RtPF1F2中,PF1F2=30°, 所以|PF1|=2|PF2|, 由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2a, 即|PF2|=2a,又|F1F2|=2c, 所以=, 所以 c=a, 所以 c2=3a2, 又 c2=a2+b2进而得 b2=2a2, 所以=, 所以渐近线方程为 y=±x. 答案:y=±x 能力提升(时间:15 分钟) 8.如图,已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,|F1F2| =8,P 是双曲线右支上的一点,直线 F2P 与 y 轴交于点 A,APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离 心率为( C ) (A)(B) (C)2(D)3 解析:如图记 AF1,AF2与APF1的内切圆相切于 N,M, 则|AN|=|AM|,|PM|=|PQ|, |NF1|=|QF1|, 因为|AF1|=|AF2|, 所以|NF1|=|AF1|-|AN| =|AF2|-|AM| =|MF2|, 所以|QF1|=|MF2|, 所以|PF1|-|PF2|=(|QF1|+|PQ|)-(|MF2|-|PM|) =|PQ|+|PM|=2|PQ|=4, 即 2a=4,所以 a=2.由|F1F2|=8=2c,得 c=4, 所以 e=2.故选 C. 9.若双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k0),其中 k 为双曲线 C 的一 条渐近线的斜率,则 m 的值为( B ) (A)-(B) (C)-3 (D) 解析:mx2+y2=1,即 y2-=1(mb10), 双曲线 C2的方程为-=1(a20,b20), 焦点 F1(-c,0),F2(c,0). 法一 由 e1=,e2=, =,得=,则 a1=3a2. 由题意|PF1|+|PF2|=2a1, |PF1|-|PF2|=2a2, 则|PF1|=a1+a2=4a2,|PF2|=a1-a2=2a2. 由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2, 则(2c)2=(4a2)2+(2a2)2-2×4a2×2a2×, c2=3 , =c2- =2 ,则 b2=a2, 双曲线的渐近线方程 y=±x=±x,即 x±y=0.故选 C. 法二 因为 =, 所以 a1=3a2, 由椭圆及双曲线定义得|PF1|+|PF2|=2a1=6a2, |PF1|-|PF2|=2a2, 2-2化为|PF1|·|PF2|=8 , 在PF1F2中,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos, 所以|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 所以(2c)2=(2a2)2+8 , 所以 c2=3 , (以下同法一). 11.F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A,B 两点.若ABF2是等边三角形,则 该双曲线的离心率为 . 解析:如图,由双曲线定义得, |BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1| =2a, 因为ABF2是等边三角形, 所以|BF2|=|AF2|=|AB|, 因此|AF1|=2a,|AF2|=4a, 且F1AF2=120°, 在F1AF2中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2,所以 e=. 答案: 12.(2017·邯郸市一模)已知点 A(a,0),点 P 是双曲线 C:-y2=1 右 支上任意一点,若|PA|的最小值为 3,则 a= . 解析:设 P(x,y)(x2), 则|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+(-1)= (x-a)2+a2-1. a时,取 x=a,得|PA|2的最小值为 a2-1=9,所以 a=5; a0,b0)的左、右焦点为 F1,F2,P 为双曲 线 C 右支上异于顶点的一点,PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(1,0), 且 P 与点 F1关于直线 y=-对称,则双曲线方程为 . 解析:设点 A(1,0),因为PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(1,0), 则|PF1|-|PF2|=|AF1|-|AF2|, 所以 2a=(c+1)-(c-1), 则 a=1. 因为 P 与点 F1关于直线 y=-对称,如图,F1PF2的一条中位线在直 线 y=-x 上, 所以F1PF2=且=tanPF2F1=b, 联立|PF1|-|PF2|=2 且|PF1|2+|PF2|2=4c2=4+4b2解得 b=2. 所以双曲线方程为 x2-=1. 答案:x2-=1 14.P(x0,y0)(x0±a)是双曲线 E:-=1(a0,b0)上一点,M,N 分别 是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足=+,求 的值. 解:(1)由点 P(x0,y0)(x±a)在双曲线-=1 上, 有-=1. 由题意知·=, 联立可得 a2=5b2, 又 c2=a2+b2=6b2, 则 e=. (2)联立 得 4x2-10cx+35b2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 设=(x3,y3),=+, 即 又 C 为双曲线上一点,即 -5 =5b2, 有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=5b2, 化简得 2( -5 )+( -5 )+2(x1x2-5y1y2)=5b2, 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 所以 -5 =5b2, -5 =5b2, 由式有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 将以上各式代入式得 2+4=0, 解得 =0 或 =-4.
