电路基础第6章动态电路的复频域分析

1、第六章 动态电路的复频域分析,6.1 拉普拉斯变换及其性质 6.2 拉普拉斯反变换 6.3 电路基本定律及电路元件的复频域形式 6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路 6.5 网络函数 6.6 固有频率,在前面的时域分析中，是采用经典法求电路的响应。当阶数高于二阶时，用经典法列写微分方程、求初始条件，解微分方程都变得比较复杂。,如果利用数学中的拉氏变换将时域问题变换为s复频域问题，即微分方程化为复频域的代数方程可使动态分析不必列写微分方程、求初始条件，而得到所需的响应。这种方法称为运算法。,拉普拉斯变换在线性动态电路中的应用,拉氏变换是研究线性时不变网络的非常重要和有效的工具。,6.1 拉氏变换的定义和性质,拉氏变换 F(s)= f(t),拉氏反变换 f(t)= -1F(s),复频率,设时域函数f(t)在区间 0， )内的定积分为,由此积分确定的复频域函数可表示为,表6.1.1 一些常用时间函数的拉氏变换,表6.1.1 一些常用时间函数的拉氏变换,6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质及电路元件的复频域形式,一、线性性质及其应用,a1f1(t)+a2f2(t)=a1f1(t)+a2f2(t)

2、= a1F1(s)+a2F2(s),二、微分性质及其应用,若f(t) = F(s)，则, ,拉氏变换的微分性质表明，时域中的求导运算，对应于复频域中乘以s的运算，并以f(0-)计入原始值, ,推广：,电容器特性方程及其复频域形式与等效模型, ,电感器特性方程及其复频域形式与等效模型,附加电流源,附加电压源,积分性质及其应用,电容器特性方程及其复频域形式与等效模型,电感器特性方程及其复频域形式与等效模型,1. 电容元件电压电流关系的复频域形式,复频域诺顿模型,时域模型,复频域戴维南模型,附加电压源,附加电流源,1/sC具有电阻的量纲，称为运算容抗,sC称为运算容纳,2. 电感元件电压电流关系的复频域形式,3. 耦合电感元件电压电流关系的复频域形式,(a) 时域模型,复频域形式为,(b) 复频域模型,若用倒电感矩阵表示耦合电感元件,(a) 时域模型 (b) 复频域模型,Is,+,_,+,_,+,_,+,_,四、时移性质,若f(t) = F(s)，则,f(t-) = F(s),拉氏变换的时移性质表明，若原函数在时间上推迟(即其图形沿时间轴向右移动 )，则其象函数应乘以延时因子e-s,例6.1

3、.7 图示单个矩形脉冲波形f(t)，其幅度为A，试求f(t)的拉氏变换F(s)。,解 ：矩形脉冲f(t)可表示为,故根据时移性质，有, ,五、频移性质,若f(t) = F(s)，则, =F(s-),拉氏变换的频移性质表明，若原函数乘以指数因子et,则其象函数应位移（即其图形沿实轴向右移动）。,例6.1.9 试求 及 的拉氏变换。,根据频移性质可求得,解 ：,六、初值定理,若f(t) = F(s)，且 存在，则,若f(t) = F(s)，且 存在，则,七、终值定理,利用初值定理和终值定理，可以不经过反变换而直接由象函数F(s)来确定原函数f(t)的初值和终值。,例6.1.10：,根据终值定理,例：在象函数反变换之前可用来校验是否正确,卷积定理与零状态响应,一个线性电路对任意激励f(t)的零状态响应等于激励函数f(t)和该电路的冲激响应h(t)的卷积。,网络函数取决于网络拓扑及元件参数,解:,6.2 拉普拉斯反变换,拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。,拉普拉斯反变换的定义：,拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。（适用于有理式）,设F(s)可以表示为如

4、下的有理分式，m 和n 为正整数。,展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）,若mn 称有理函数是真分数式,其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一个多项式，其对应的时间函数是(t)，(1)(t)， (2)(t) 等的线性组合。,B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，则B(s)/ Q(s)为真分式,所以F(s)对应的原函数为,例6.2.1 试求 的原函数。,解：将F(s)真分式化得,设：F(s)为真分式，并将分母多项式Q(s)用因式连乘的形式来表示，即：,pj(j=1，2，n)为方程Q(s)=0的根，称为Q(s)的零点。,当spj时，F(s)，所以pj也称为F(s)的极点。,6.2.2 单极点有理函数的拉氏反变换,F(s)的极点均为单极点时， F(s)的部分分式展开式为,Kj(j=1，2，n)为待定常数,方法二,方法一,f(t) = -1F(s) = -1,拉氏反变换并进行线性组合，可得：,一、 极点均为实数情况,例6.2.2 试求 的原函数f(t)。,F(s)的各极点分别为p1 = -1，p2 = 2，p3 = 3,解,f(t) = -1F(s) = -1,二、极点

5、为复数情况（共轭复根）,若F(s)有 单极点，则必有 单极点。,则F(s)将包含,K1和K2一般也是共轭复数，即：,如果,则,拉氏反变换为：,f(t)=,例6.2.3 试求 的原函数f(t)。,则F(s)的部分分式展开式为,f(t)= -1,6.2.3 重极点有理函数的拉氏反变换,若F(s)有一个r阶极点p1，其他为单极点，则F(s)的部分分式展开式为：,其中：,f(t) = -1F(s) = -1,例6.2.4 试求 的原函数f(t),解：,可得：,f(t)= -1,（运算法）,复频域分析法可以用来求取电路的全响应。运用拉氏变换解题可以很容易地解决包含电容电压或电感电流跳变的电路响应求解问题。,6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路,运算法求解电路的基本步骤,1、确定换路前电路的初始条件：uC(0-)、iL(0-),3、根据运算模型求待求量的象函数。（线性电阻电路的任一种分析方法包括网络定理均可应用于复频域分析。）,4、拉氏反变换求待求量的原函数：包括象函数求根，分解成部分因式，然后逐个求反变换。,2. 根据电路的时域模型建立相应的复频域模型，储能元件的初始储能用附加电源反映。,一个处

6、于零状态的无源一端口运算电路，端口电压象函数U(s)与电流象函数I(s)之比称为运算阻抗Z(s)，即,与之对偶的为运算导纳Y(s),例：RLC串联运算电路,6.4.1电路的复频域形式及运算阻抗和运算导纳,RLC串联运算电路的运算导纳为,注意：尽管运算阻抗Z(s)和运算导纳Y(s)都是有关象函数的比值，但它们都不是象函数，只是复频率s的函数。,戴维南定理,复频域阻抗Zeq(s)是双零条件下(独立源置零，初态置零)的等值运算阻抗；Uoc(s)是独立源和初态共同作用下的端口开路电压,例：t0时的uc2,解,6.4.2 用运算法分析线性非时变电路,解得,所以,有跳变,例6.4.2 在图(a)所示电路中，iL(0-)=1A，uC(0-)=1V，uS= (t)V，R1=R2=1，L=1H，C=1F，试求t 0 时的u(t)。,根据KVL求得电路的网孔方程,解方程可求得响应象函数,反变换求得原函数,u(t) = -1,例6.4.5 在图所示电路中，开关S在t=0时断开，S断开前电路处稳定状态。已知R1=30，R2= R3=5，L=0.1H，C=10-3F，uS=140V。试求t 0 时的uC。,解:

7、 由于开关S断开前电路处于稳定状态，可求得电路原始状态iL(0-)=4A，uC (0-)=20V,可得：,由等效运算电路，可求得uC的象函数,注意：Uoc(s)是独立源和初态共同作用下的端口开路电压,求得待定常数,例6.4.6 图(a)所示电路，开关S在t=0时打开，S打开前电路处于稳定状态。已知C=0.1F， G=100S，iS=4cos1000tA，试求t 0 时的uC。,解：根据KCL求得电路的节点方程,求得待定常数,uC=暂态分量+稳态分量,从工程技术上看，经过45，暂态过程已结束，电容电压uC(t)进入稳态响应，即：,解：换路后的运算电路如右上图,例：在图示电路中，us(t)=12V，R1=6， R2=6 ， R3=3 ， L1=0.5H， L2=1.5H ，试求t0时电路的响应uL1(t),解：,例:求图示电路中i2的冲激响应,例:设iL(0-)=0 uC(0-)=0求图示电路响应uC(t),sL1,sL2,+,_,+,_,+,_,R1,R2,+,_,+,_,+,_,_,sL1,sL2,+,_,+,_,+,_,R1,R2,+,_,+,_,节点电压方程,+,_,6.5 网络函数,一个零状态的运算电路，输入激励的象函数为W(s)，零状态响应的象函数为Y(s)，则网络函数H(s) 定义为零状态响应象函数Y(s)与激励象函数W(s)之比，即,电路如图所示，试求：（1） i的单位冲激响应； （2）i的单位阶跃响应。,图所示二端口电路N，已知当uS=6(t)V时，全响应uo=(8+2e-0.2t)V (t0)；当uS=12(t)V时，全响应uo=(11-e-0.2t)V (t0)。试用运算法求当uS=6e-5t(t)V时的全响应u0,【解】设全响应的象函数,解得：,当uS=6e-5t(t)V，响应的象函数为：,拉氏反变换得：,

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