统计学 第二版课件 曾五一_ 第6章参数估计

1、,第六章 参数估计,抽样分布,点估计与估计量的评价标准,简单随机抽样的区间估计,第一节 抽样分布,抽样的基本概念,抽样分布,一、抽样的基本概念,抽样的基本概念涉及有：总体与样本、样本容量与样本个数、总体参数与样本统计量、回置抽样与无回置抽样。总体与样本的概念在第一章已经介绍，这里只就其它概念进行介绍。,（一）样本容量与样本个数,1样本容量。样本是从总体中抽出的部分单位的集合，这个集合的大小称为样本容量，一般用n表示，它是指一个样本中所包含的单位数。样本容量大，抽样误差会较小；反之，样本容量过小，将导致抽样误差增大，甚至失去抽样推断的价值。因此，在抽样设计中应该根据调查目的认真考虑合适的样本容量。 2样本个数。样本个数又称为样本可能数目，它是指从一个总体中可能抽取多少个样本。样本个数的多少与抽样方法有关。,（二）总体参数与样本统计量,1总体参数。总体分布的数量特征就是总体参数，也是抽样统计推断的对象。 常见的总体参数有：总体的平均数指标，总体成数（比重）指标，总体分布的方差、标准差等等。它们都是反映总体分布特征的重要指标。其详细的描述已经在第三章中介绍。本书中，总体参数一般用希腊字母来表

2、示。 2样本统计量。样本是从总体中随机地抽出来的，而样本统计量是样本的一个函数，因此，它是随机变量。我们利用样本统计量来估计和推断总体的有关参数。,常见的统计量有： 样本均值 样本成数 样本方差 样本标准差 以上式中，X1,X2,.Xn为样本，n是样本容量，n1是样本中具有某种特征的单位数目。这里应该注意，本书中，样本统计量一般用大写英文字母来表示。,（三）回置抽样与无回置抽样,简单抽样的方式可分为回置抽样和无回置抽样。 1回置抽样。回置抽样是指从总体中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续参加下一轮样本单位的抽取。回置抽样的特点是： 第一，有n个样本单位的样本是由n次试验的结果构成的。 第二，每次试验是独立的，即其试验结果与前次、后次的结果无关。 第三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的概率是相同的。在重复试验中，样本可能的个数是Nn，N为总体单位数，n为样本容量。,2无回置抽样。无回置抽样是指从总体抽出一个单位，登记后不放回原总体，即不参加下一轮抽样，下一次继续从总体中余下的单位抽取样本。其特点是： 第一，包含n个样本单位的样本是由n次试验的结

3、果构成，但由于每次抽取后不放回，所以实质上相当于从总体中同时抽取n个样本单位。 第二，每次试验结果不是独立的，上次中选情况影响下一次抽选结果。 第三，每个单位在多次试验中选中的概率是不等的。在无回置抽样中，如果是考虑顺序，其样本可能数为 ；如果不考虑顺序，其样本可能个数为 。,二、抽样分布,（一）样本平均数的抽样分布 在回置抽样的情形下，设从总体中抽出的样本为X1,X2,.Xn，它们之间是相互独立的，且与总体同分布。我们设总体的平均数为，方差为2，则样本平均数的期望值与方差分别为：,从以上的式子我们知道，样本平均数分布的中心与总体的分布中心完全相同，方差是总体分布方差的1/n。因此，样本平均数分布集中趋势优于总体分布自身的集中趋势。由于样本平均数能“集中”分布于总体平均数附近，因此可以考虑用样本平均数来估计总体平均数。用样本统计量去估计总体参数难免有误差，样本变量的离散程度越大，产生误差的可能性也越大。我们用抽样平均数的标准差来反映抽样平均数与总体平均数的平均误差程度，称其为抽样平均误差，记为： (6.1) 抽样平均误差是总体标准差的 ，通常比总体标准差小的多。,【例6-1】,某个车间

4、的工作班组有5个工人，他们的单位公式工资分别为4、6、8、10、12元，现用回置抽样方式从5个工人中抽取2人，计算样本的平均工时工资的抽样平均误差。 解：总体分布的平均数与方差分别是：,那么，抽样平均误差为 在无回置抽样的情形下，以例6-1的资料，所有样本平均数如表6-1所示。从表6-1中可以整理出样本平均数的分布如表6-2所示。,根据表6-2分布数据，可计算样本平均工资与其标准差： 计算结果表明，在无回置抽样情形下，样本平均数分布的中心还是总体的中心，而抽样平均误差比回置抽样要小。,无回置抽样的平均误差比回置抽样小的原因是很直观的，无回置抽样排除了“每次抽出的都是极端值”的可能，这显然对降低抽样误差有利。数学上可以证明，在无回置抽样条件下， （6.2） 无回置抽样与回置抽样相比多了一个系数 这个系数称为无回置抽样的修正系数。由于该系数在01之间，因此，无回置抽样平均误差比回置抽样小。当N远大于n时，修正系数近似1，修正与否对平均误差几乎没有影响，这时可以不考虑抽样方式差异，都按回置抽样处理。,（二）样本成数的抽样分布,总体成数是指具有某种特征的单位在总体中所占的比重。成数是一种特殊平

5、均数。设总体单位总数目是N，总体中有某种特征的单位数是N1。设 X是0，1变量，即总体单位有该特征，则X取1，否则取0，于是有 现在从总体中抽出n个单位，如果其中有相应特征的单位数是n1，则样本成数是,P也是一个随机变量，利用样本平均数分布的性质，针对回置抽样方式，有 E(P)= (6.3) (6.4),【例6-2】,已知一批产品的合格率为90%，现采用回置抽样方式从中取出400件，求样本合格率的抽样平均误差。 解：根据上面的结论，有 由于样本容量大，样本成数的平均误差就大大减小。在无回置抽样条件下，则用修正系数加以修正，即 E(P)= (6.5) (6.6),这里应该注意到，对于无限总体进行无回置抽样时，可以按照回置抽样来处理。此时样本成数的方差仍可以按（6.4）式计算。对于有限总体，当N很大，而抽样比n/N5%时，其修正系数 趋于1，这时样本成数的方差也可以用 （6.4）式来计算。,（三）样本方差的抽样分布,要用样本方差S2去推断总体的方差2，必须知道样本方差的抽样分布。那么，作为估计量的样本方差是如何分布的呢？统计证明，对于来自正态总体的简单随机样本，其统计量 的抽样分布服从自由

6、度为(n-1)的分布2，即 2分布由阿贝（Abbe）于1863年首先给出，后来由海尔默特（Hermert）和卡皮尔森（.KPearson）分别于1875年和1900年推导出来。,第二节 点估计与估计量的评价标准,点估计,估计量的优良标准,一、点估计,点估计就是设总体随机变量X的分布函数形式为已知，但它的一个和多个参数未知，若从总体中抽取一个样本X1,X2,.Xn。用该组数据来估计总体的参数，称参数的点估计。 点估计的方法有矩估计、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等，我们这里主要介绍矩估计法和顺序统计量法，最小二乘法将在相关与回归章节中介绍。,（一）矩估计法,对总体参数进行估计，最容易想到的方法就是矩估计法，它是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得有关参数的估计量。 在统计学中，矩是以期望为基础而定义的数字特征。例如数学期望、方差、协方差等。矩可以分为原点矩和中心矩两种。 设X为随机变量，对任意正整数k，称E(Xk)为随机变量X的 k阶原点矩，记为 (6.7) 当时k=1时， 可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。,我们把 （6.8） 称为以E(X)为中心的k阶中心矩。 显然，当k=2

7、时， 可见二阶中心矩为随机变量X的方差。,【例6-3】,已知某种灯泡的寿命XN(,2)，其中,2都是未知的，今随机抽取4只灯泡，测得寿命（以小时计）为1502，1453，1367，1650，试估计和2。 解：因为是全体灯泡的平均寿命， 为样本的平均寿命， 很自然地会想到用去估计 ；同理用s去估计。 由于,s=118.61 故及估计值分别为1493小时和118.61小时。 矩估计法简便、直观，比较常用。但是也有局限性：首先，它要求总体的k阶原点矩存在，若不存在则无法估计；其次，矩估计法不能充分地利用估计时已掌握的有关总体分布形式的信息。 通常设为总体X的待估计参数，一般用样本X1,X2,.Xn构成一个统计量 来估计，则 为的估计量。对应于样本的一组数值x1,x2,.xn，估计量 的值称为的估计值。点估计即为待估计参数寻找一个估计值 的问题。必须注意的是，对于不同的样本，估计值可能是不相同的。,（二）顺序统计量法,所谓顺序统计量法，即用样本中位数Me，或样本极差R来估计总体的数学期望或总体的均方差的方法。 样本中位数Me：定义为样本X1,X2,.Xn的函数。即对样本中各样本单位的取值按大小

8、顺序排列，位于中间位置的那个数值（若n为偶数时，则取位于中间的两个数值的平均数）。记为 (6.9),样本极差R：定义为样本X1,X2,.Xn的函数。即对样本中各样本单位的取值按大小顺序排列，取最大值与最小值之差。记为 (6.10) 由于Me与R都是将样本的一组数值按大小次序排列而确定的，所以都叫顺序统计量。 如以例6-3为例，样本的一组数值为：1367，1453，1502，1650，即 Me=(1453+1502)/2=1477.5 R=1650-1367=283,顺序统计量的共同特点是计算简单，其中，Me的数值还不受样本中过大或过小的观测值的影响。例如，设总体X的一组样本观测值按大小排列为：20，70，88，88，88，88，88，88，95，则Me=88。 当总体X为连续型随机变量，且概率密度函数对称时，为方便起见，常用样本中位数Me来估计总体数学期望，即 (6.11),样本极差R本身就是衡量总体离散程度的一个尺度，由于其计算很简单，所以可以用来估计正态总体标准差。 和R有下列关系 (6.12) dn的数值见表6-3,用样本极差R来估计，其缺点是不如用s可靠（当n2时），n愈大，两

9、者可靠程度差别就愈大。当n10时，如果要用R来估计，可将数据分成若干个数相等的组（比如5个一组）求出各组数据的极差，然后用这些样本极差的平均值 作为（6.12）式中的R（此时dn为d5），即得的估计 。,二、估计量的优良标准,前面，我们介绍了总体参数的两种常见的估计方法，即矩估计法和顺序统计量法。对于同一参数，用不同的方法来估计，可能得到不同的估计量。但究竟采用哪种方法为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。 判别点估计优良性包括三条标准：无偏性、有效性和一致性。,（一）无偏性,若估计量 的数学期望等于未知参数的真值，即 （6.13） 则称 为的满足无偏性准则的估计量。 【例6-4】样本均值 是总体均值的一个无偏估计量。但样本方差Sn2不是总体方差的无偏估计量。 解：因为X1,X2,.Xn表示n次观测结果的n个独立随机变量，且这n个独立随机变量是来自同一总体，因而有相同的分布律，从而有相同的期望值和方差。故,因此 所以，样本均值 是总体均值的一个无偏估计量。,又因为,又因为 所以Sn2不是2的无偏估计量 通常我们用 来计算样本方差，这是因为 是2的无偏估计量。,（二）有效性,无偏性只考虑估计值的平均结果是否等于待估参数的真值，而不考虑每个估计值与待估参数真值之间偏差的大小和离散程度。我们在解决实际问题时，不仅希望估计是无偏的，更希望这些估计值的偏差尽可能地小。通常我们用偏差的平方的期望值来衡量估计量偏差的大小，称之为均方误差，并记为 （6.14） 若 为的无偏估计量，其均方误差等于其方差,设 、 为的两个无偏估计量，若 的方差小于 的方差，即 （6.15） 则称 是较 有效的估计量。,（三）一致性,设 是未知参数 的估计量，当n时，要求 按概率收敛于。即 （6.16） 其中，为任意小正数。 则称 为的满

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