高数(下)练习册第9到12章答案
46页1、第九章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念 1、设.答案: 2、求下列函数的定义域:(1) (2) 3、求下列极限: (1) (0) (2) (0) 2 偏导数1、设z= ,验证 证明:,2、求空间曲线在点()处切线与x轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设u=(x2+yz3) 3,求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 , =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设,证明 : 6、设,求。解:7、设函数在点处的偏导数存在,求 3 全微分1、单选题(1)二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(2)对于二元函数,下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。(A)偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分:(1) 设求dz解: (2) 设函数( 为常数且)求.解:
2、;(3) 解:3、设,求dz(1,1)解: ,4、设,求:5、讨论函数在(0,0)点处的连续性 、偏导数、可微性。解:,所以在(0,0)点处连续。 ,所以可微。4多元复合函数的求导法则、设,求解:2、设,求 3、设,,其中具有二阶连续偏导数,求。解:;4、设,其中具有二阶连续偏导数,求, 解: , ,= ,5、设,其中对各变元具有二阶连续偏导数,求。解:6、设,证明:。证:;类似可求得;。所以。 5隐函数的求导公式1、设,求解:令,2、设是由方程确定,求。解:=3、设,其中可微。证明: 解:;=+y=4、设,求, ( ,)5、设由方程所确定,可微,求解:令 ,则6、设函数是由方程所确定,求。解: 7、设由方程所确定,证明:。证:;所以6微分法在几何中的应用1、求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程解:切线方程为法平面方程2、求曲线 在(3,4,5)处的切线及法平面方程解:切线方程为 ,法平面方程: 3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。解:设,则;。在点(1,1,1)处;,所以法向量切平面方程是:,即;法线方程是:7方向导数与梯度1、设函数,(1)求该函数在点(1,3)处的
3、梯度。2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向解:梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为,方向导数达到 最小值的方向为。2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解:方向导数为,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向,此时最大值为 3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数。解:,所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。解:, 8多元函数的极值及求法1、求函数的极值。 答案:(,)极小值点2、设函数由方程确定,求函数的驻点。解:设驻点是(0,0)。3、求的极值。解:;。令=0,=0,得=2;=-1;=1;在(1,0)点处=2,=1,0,函数在(1,0)点处有极值,且由于A=20取极小值。4、求函数在条件下的条件极值。解: ,极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。(长和宽2米,高3米)6、旋转抛
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