2015年高考数学(理)一轮复习讲义:8-7抛物线
13页1、第7讲抛物线 最新考纲1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知 识 梳 理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线(2)其数学表达式:|MF|d(其中d为点M到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下辨 析 感 悟1对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()2对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013北京卷改编)若抛物线yax2的焦点坐标为(0,1),则a,准线方程为y1.()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称
2、轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()感悟提升1一点提醒抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益如(2)2两个防范一是求抛物线方程时,首先弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线的标准方程;二是求抛物线的焦点坐标时,首先要把抛物线方程化为标准方程,如(3).考点一抛物线的定义及其应用【例1】 (2014深圳一模)已知点A(2,0),抛物线C:x24y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|()A2B12 C1D13解析如图所示,由抛物线定义知|MF|MH|,所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA,则,则|MH|MN|1,即|MF|MN|1.答案C规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题【训练1】 (2014山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y24
3、x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|4时,|PA|PM|的最小值是_解析将x4代入抛物线方程y24x,得y4,|a|4,所以A在抛物线的外部,如图,由题意知F(1,0),则抛物线上点P到准线l:x1的距离为|PN|,由定义知,|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当A,P,F三点共线时,|PA|PF|取最小值,此时|PA|PM|也最小,最小值为|AF|11.答案1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】 (2014郑州一模)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析如图,分别过A,B作AA1l于A1,BB1l于B1,由抛物线的定义知:|AF|AA1|,|BF|BB1|,|BC|2|BF|,|BC|2|BB1|,BCB130,AFx60,连接A1F,则AA1F为等边三角形,过F作FF1AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|A1F1|AA1|AF|,即p,抛物线方程为y23x,故选
4、C.答案C规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】 (2014兰州一模)已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切,则m()A2B.C.D解析抛物线的标准方程为x24y,所以准线为y1.圆的标准方程为2y2,所以圆心为,半径为.所以圆心到直线的距离为1,即1,解得m.答案D考点三直线与抛物线的位置关系【例3】 (2013湖南卷)过抛物线E:x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1k22,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明:2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程审题路线(1)写出直线l1的方程与抛物线联立用根与系数的关系求M,N的坐标写出,
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