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2013高考备考各地试题解析分类汇编（二）理科数学：3导数2

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1、各地解析分类汇编（二）系列:导数 21.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：【答案】解：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 4分（注：分类讨论少一个扣一分）（2）函数在处取得极值， 5分，令，可得在上递减，在上递增，即 8分（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，9分又，显然函数在上单调递增，即，在上单调递增，即，当时，有 12分2.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】（本小题满分12分）已知是正实数，设函数（）设，求的单调区间；（）若存在，使且成立，求的取值范围【答案】解：（1）由得，单调递减，单调递增4分（2）由得5分（i）当，即时，由得，7分（ii）当时，单调递增9分（iii）当，即时，单调递减当时恒成立 11分综上所述，12分解法二：由得由令则，题目转化为：已知满足，求的取值

2、范围作出（）所在平面区域（如图）求出的过原点的切线设过切点的切线为，因为过原点，故有即，的最小值在处，为此时，点在上之间当（）对应点时，由，即的最大值在处，为7 的取值范围为，即的取值范围是 3.【北京北师特学校2013届高三第二次月考理】（本小题满分14分）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）【答案】解：（）令，则，又的定义域是（0,2）2（2，）0设切点为则解得令，则，（）当时，在单调增加（）当时，在单调减少，在单调增加；若时，；若时，；（）当时，在上单调递减，；综上所述，时，；时，。4.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数（）.（）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；（）若存在，使，求a的取值范围【答案】解：（I）1分根据题意，3分此时，,则.令-+. 6分当时，最小值为. 7分（II）若上单调递减.又.10分若从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减. 根据题意，. 13分综上，的取值范围是.5.【北京市朝阳

3、区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围【答案】解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增.12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的

4、取值范围为. 13分6.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）已知，函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值【答案】解：（）当时，所以，.2分因此即曲线在点处的切线斜率为. 4分又，所以曲线在点处的切线方程为，即6分（）因为，所以令，得 8分若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值10分若，则当时，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值12分综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为13分7.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】（本小题满分13分）已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）对,不等式恒成立，求的取值范围【答案】解：（1）2分当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。8分（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（）可知，当时，在单

5、调递增，则，成立，故0,即， 4分当时,g(x)5，所以函数f(x)在区间上的最大值是.14分9.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. ()已知函数，若且，求实数的取值范围；()已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；()定义集合请问：是否存在常数，使得，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】解：（I）因为且，即在是增函数，所以1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得4分 () 因为，且所以，所以，同理可证，三式相加得所以6分因为所以而，所以所以8分() 因为集合所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，所以所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有所以的最小值为0 13分

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