循序渐进-深化理解-谈函数图象的教学

1、初中数学循序渐进 深化理解从初中学生学习中的问题思考函数的图象教学株洲市枫叶中学 王芬内容提要：函数的图象是初中数学教学的重点与难点，本文结合教学实践列出了学生在这一内容的学习中存在的困难，从认知心理的角度分析了困难的原因所在，并提出了相应的教学建议。关键词：函数的图象，由形到数，由数到形，数形结合。函数知识与思想是中学数学的核心内容。函数概念有着文字语言、符号、表格、图形等各种表征，学生通过对函数各种表达方式的领会与掌握，可以达到对函数本质思想的理解。图象是函数的极重要的一种表达形式，它能使函数中变量间的关系直观化、形象化，数形结合则是研究函数性质、运用函数知识解决实际问题的重要思想工具。然而对这一内容学生普遍感到困难。这些困难表现在哪些方面？为什么会存在这些困难？如何通过教学干预帮助学生克服？这将是笔者在本文中要与各位同行探讨的问题。一、 图象学习的困难所在从与函数的图象有关的问题的解决来看，学生的困难不外乎三个方面：由数到形的困难；由形到数的困难；数形结合的困难。下面分别进行探讨。（一） 由数到形的困难案例1 （选自湘教版八年级上册2.1函数和它的表示法习题B组） 某一天小明从家

2、里走路去学校，开始10分钟，他每分钟走60米；然后他越走越快，过了5分钟后，他每分钟走80米，再过6分钟，到达了学校，小明走路的速度是时间的函数，画出这个函数可能的图象。对此问题，学生的反应各有不同，大致有以下几中表现：大多数感到不知如何下手，反复看题对问题中给出的数据进行计算，比如计算6010，806等；画了一个坐标系，横坐标取名分钟，纵坐标没取名，部分不知如何继续下去，部分在画一开始就上升的直线；。，学习了一次函数的图象和性质，却没有学习用描点法画函数的图象，他的表现很有意思：读完第一遍题目后再细读题目时，他列出了（10，60），（15，80），（21，？）这样几个数对，念叨着“这意味着图象上有这么几个点，那么21，多少呢？先不管它”。然后他开始画图象，他建立的坐标系横轴名x，纵轴名y, 都没标注单位，在坐标系内他描上前两个点，然后将原点和所描点顺次连结起来，以下是我指导他更正的过程记录：师：为什么要连上原点？生：开始的时候速度一定是等于零的呀，t=0时一定有的v=0的”。师：不一定，我们从开始走的时候计时，也就是说，从一开始，他的速度就是每分钟60米。生：哦，这也是可以的。（仍旧

3、画不出图象）师：你注意到了没有，速度这个量在前10分钟一直是保持不变的，怎样在图象上体现这一点呢？生：（恍然）哦，我明白了，一条水平的线，纵坐标不变。（画出正确的图象）师：为什么在第二段图象是上升的呀？生：因为纵坐标v会随着时间的增加而增大呀。从上面的案例我们可以看到，除了在题意的理解方面存在困难之外，在由数到形方面，学生存在的困难有：（1）不会根据题意建立恰当的平面直角坐标系，对于用横坐标表示自变量，用纵坐标表示因变量这一规则并不是太熟悉；（2）对于问题中给出的已知数据对，不能转换为用坐标系内的点来表示；也即不会描点来表示问题中的的某一种状态；（3）不会用线段的升降趋势来描绘函数值跟随自变量的变化而变化的趋势；（二） 由形到数的困难也许学生用文字语言去描述一些熟悉的问题的函数图象时的困难不明显，但是转化为用符号语言表征就有困难了，由形到数的困难主要表现在以下几个方面：（1） 不能结合图象的特征把握函数的性质，如对一次函数，不能从直线的方向判断一次项系数的符号和绝对值大小，或者是虽然知道但是并不理解为什么；（2） 不能用符号语言来描述图象特征，例如，对于已知的不平行于轴和轴的直线两点，

4、不能从的大小关系来判断的大小关系，或者反之；（3） 不能对两个函数的图象进行比较得出有关信息，例如不能理解曲线交点就是由曲线方程联立的方程组的解，不能比较两个函数值的大小等。（三）数形结合的困难案例2 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当时，的取值范围是 。xy032.8解决这个问题，学生需从以下方面进行思考，或者明白以下问题：（1）在图象上表示什么？（2）图象上横坐标小于零的点是哪些？你能不能画出来？（3）所画出来的这些点（位于第二象限）的纵坐标又有什么特点？ 学生解决此题的困难部分在于不能回答上述这些问题，更主要的是在于不会主动去进行数与形之间的转换，也就是没有数形结合的意识和自觉性，在由数到形和由形到数两种困难之外，还有就是在数与形之间进行自如转换的困难。二、困难原因分析如果你是一个没有教学经验的教师，你就很难预计到学生会存在这些困难，同时你更加会觉得无法理解，因为看起来这实在不是很困难的问题，数形结合不是理有助于学生对于函数概念的理解吗？我们从认知的角度去分析就会知道学生的困难是很正常的现象，因为，数形结合，也就意味着学生要从函数的符号语言和函数的图形这两种不同的心理表象出发去

5、建构函数概念，在学习初期，在对于函数概念及各种表达方式都还认识很肤浅的时候这意味着又增加了一重困难，从以上三个方面来看，具体有以下原因：（1）用形来表示数，即用图形、画面来构建对于知识与问题的直观理解，不符合学生的思考习惯，这也是教学中长期以来存在的问题，不注重借助直观来增进学生对知识和问题的理解，特别是不注重训练学生构建直观理解，例如小学教行程问题，多数是对问题进行分类，教给学生各类问题的算法，学生先弄清问题的类别，再给出相应的解答，并不是让学生画出行程图来进行分析。在本章节的学习中，对于“点的横坐标表示自变量的值，纵坐标表示因变量的值，点的运动对应着相应的就是的值的变化”这一知识，学生的理解水平是低层次的，至少他们是不能用点的运动来描述变量值的变化。（2）由形到数的困难，更多是在于学生对于符号语言的理解与运用的困难造成，例如，学生知道一次函数的单调性，但是只限于用成文字语言表述，只有优秀学生才会去两个自变量的大小从而比较出相应的函数值大小，这就是用符号语言进行表征方面的欠缺，是“数”本身的困难造成了由形到数的困难。（3） 在数与形之间的来回转换是学生最感到困难的，在案例2的讲解中，

6、每一次的由数到形和由形到数，对学生来说，都是不太轻松顺畅的事情，而经过几个回合，有学生大有转晕了的感觉，这就是说，他们对数与形的转换还处在一个初级加工的阶段，根本没有达到数与形统一起来的水平。学生对于坐标思想的理解水平是很低的，他们不能很快建立起函数中的变量与图象中的点的坐标间的对应，更难以建立起变量的变化与点的运动间的联系。三、对函数图象教学的建议与思考基于以上的学习困难，笔者认为从下面几个方面着力会有助于函数图象的学习。（一） 深刻理解平面直角坐标系的意义1、点与有序数对之间的对应关系我研究了人教版和湘教版两种教师用书，对于该内容的教学要求都是：了解平面直角坐标系的概念，知道平面上的点与有序数对之间的一一对应关系，能建立平面直角坐标系，写出平面内点的坐标，并能根据点的坐标找到点。我认为这个教学目标相对于后续的学习来说是嫌低了，学生还应该 对不同象限内及坐标轴的点的坐标的特点非常清楚，并且要对不同位置的点的坐标进行比较，建立起点的位置关系与点的坐标大小关系之间的联系。2、 点的运动与坐标的变化间的对应关系两种教材都是让学生探究点和图形的水平和竖起平移和轴反射运动引起的坐标的变化规律，

7、以及坐标的变化引起的图形的变换，而湘教版教材规定的教学目标是了解平移及轴反射公式，能写出在平移或轴反射下点的坐标，人教版的教学目标是能用坐标表示平移变换，研究平移与坐标的关系，感受代数问题与几何问题的相互转换。我以为还必须清楚两个问题：一、要将平移看成是一个连续的过程，而不是只形容它的起始和终止两种状态；二、非水平和竖起方向的平移会引起坐标的什么变化？横纵坐标都发生改变时点的运动又是什么情形？教材大概是考虑到学生的学习困难，水平和竖起的平移只会引起坐标中一个量的改变，但是在研究函数的单调性的时候，是不可避免地要综合考虑两个量的变化，在此打下基础是非常必要的。用几何画板能够很清楚地演示这些过程，能促进学生的理解。（二）将画函数的图象作为教学的重点 1、 用描点法画函数的图象由数到形是学生的薄弱之处。用描点法画函数的图象的过程，是一个由数到形的过程，也是一个数形结合的过程。通过列表、描点、连线等具体过程，学生能对“将自变量的值与函数值分别作为图象上点的横坐标和纵坐标”这一做法产生深刻体验，加深对函数图象意义的理解，有的教师认为，反正后面学习二次函数的时候还要再来一遍，而这一章节只要会画一次

8、函数的图象就可以了，我们看到这样做的结果表现，案例1提到的那位景炎的学生，他在由数到形时就存在困难。用描点法画函数的图象应该作为教学的重点，对于画图象的每一个步骤，都要严格要求，并且对于为什么要这样做要有清晰的认识，如何用描点法画函数的图象，大多数学生都能说出三个步骤，但是列表如何取值，为什么要用光滑的曲线把点连起来，就只有少数学生能说清了。而问什么是函数的图象，则是大多数学生都答不上来，这都是教学中应注意的问题，此外，在本内容教学中还应做到下几个方面：（1）让学生画不同的函数的图象，体会到函数图象的多样性；（2）对比表格中各变量的增减趋势和图象的升降趋势，深刻体验量的变化与点的运动之间的对应关系；（3）判断点与图象的位置关系，体会图象中点的坐标的依存关系和函数关系的统一。2、画函数图象的草图（1）根据问题中对于变量的变化过程的描述画出大致图象，如问题2；（2）根据函数解析式画出函数的大致图象。通常要先考虑以下几个问题：自变量和因变量的取值范围是什么，图象落在什么范围？图象是对称的吗？（根据学生的情况看是否作讨论） 会经过哪些特殊点，如是否过原点？与坐标轴有交点吗？交点是什么？因变量随

9、自变量的变化趋势是什么，图象的走向如何？当然这里要求不宜太高，作一些简单的判断能画出来即可。例1：画函数的草图分析：自变量可以取一切实数，并且时，时故图象过一三象限；又时，故图象经过原点；随的增大而增大，图象向右呈上升趋势。（画出草图，略）（3）根据不充分的条件作草图 有关函数的问题，如果与图象有关，又没有画出图形的画，一定要求学生自己画出相应的图形，而很多问题都不会给出足够的条件画出精确的图形，其实这种情况下，画出草图就可以了，画草图是一种很重要的基本功。例如问题3，可以不考虑b的值，只要画出一条向右呈上升趋势的直线即可，也可以对b的值进行讨论，画出三条直线。对于一般的思路是，先看未确定的这个量是否会影响对问题的分析，不影响的话，可以忽略这个量，如果有影响，则分情况讨论。当然这个过程也可以反过来进行，先画出各种情形，发现并不需要，再忽略这个因素。（三）、强化函数图象信息的读取训练x(km)10003000y(元)y21000200030002000y1在教材和各种教辅资料中，有着大量的函数图象信息题，其中的一些填空题和选择题难度不大，但是可以进行挖掘，作为训练数形结合的良好素材。例2. 某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，若、与x之间的函数关系如图所示，其中x0对应的函数值为月固定租赁费，（1）当月用车路程为 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同；（2）当月用车路程为2300km时，租赁 汽车租赁公司的车比较合算。对这个问题，还可以让学生继续思考：这两家公司具体是怎样收费的？是只按里程收吗？当我在课堂上提出这个问题的时候，发现学生对此是这毫

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