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2014年上海中学自主招生数学试题

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1、 2014 年上中自主招生试卷 2014 年上中自主招生试卷一、填空题一、填空题 1. 已知 111 abab ，则 ba ab _。 2. 有_个实数x，可以使得120x为整数。 3. 如图，ABC中，ABAC，CDBF，BDCE，用含A的式子表示EDF，应为EDF_。 4. 在直角坐标系中，抛物线 22 3 -(0) 4 yxmxmm与x轴交于A、B两点，若A、B 两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足 112 3OBOA ，则m _。 5. 定圆A的半径为 72，动圆B的半径为r，72r且r是一个整数，动圆B保持内切于圆 A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有_个可能的值。 6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐 4 人，就余下 20 人；如果每船坐 8 人，那么就有一船不空也不满，则学生共有_人。 7. 对于各数互不相等的正数数组( 1 a， 2 a， n a)(n是不小于 2 的正整数)，如果在ij 时有 ij aa，则称 i a与 j a是该数组的一个“逆序” 。例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1” ，

2、“4，3” ， “4，1” ， “3，1” ，其逆序数为 4，现若各数互不相同的正数数组( 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 6 a)的逆序数为 2，则( 6 a， 5 a， 4 a， 3 a， 2 a， 1 a)的逆序数是_。 F E D C B A 8. 若n为正整数，则使得关于x的不等式 1110 2119 n xn 有唯一的整数解的n的最大值为_。二、选择题二、选择题 9. 已知 2 -12xax能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 10. 如图，D、E分别为ABC的底边所在直线上的两点，DBEC，过A作直线l，作DMBA交l于M，作ENCA交l于N。设 ABM面积为 1 S，ACN面积为 2 S，则( ) 11. 设 1 p， 2 p， 1 q、 2 q为实数，则 1212 2()p pqq，若方程甲： 2 11 0xp xq，乙： 2 22 0xp xq，则( ) A. 甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C. 甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定 12. 设 2222 1231007 1352013 a ， 2222 1231007 3572015 b ，则以下四个选项中最接近ab的整数为( ) A. 252 B. 504 C. 1007 D . 2013 A. 1 S 2 S B. 1 S 2 =S C. 1 S 2 S l NM E D C B A 二、解答题二、解答题 13. 直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC(B、D位于AC的两侧)，M、 N分别是AC、BD中点，且M、N不重合。 (1)线段MN与BD是否垂直？证明你的结论； (2)若30BAC，45CAD，4AC ，求MN的长。 14. 是否存在m个不全相等的正数 1 a， 2 a， m a(7m)，使得它们能合部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由。 N M D C B A

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