合肥市2023年高三第一次教学质量检测数学试题卷（一模含答案）

高三数学试题答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2023年高三第一次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共8 8小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分4040分分.1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分2020分分.9.ABC 10.BC 11.BD 12.ACD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分2020分分.13.5 14.15 15.2 2，16.21，四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分.17.(17.(本小题满分本小题满分1010分分)(1)设等差数列 na的公差为d，由522aa，232Sa得12ad，且2113 232adad，解得1d 或0d(舍去)，12a.1nan.4分(2)2211111111nn nnnan，2222123111111111111122311nnnnaaaa.10分 1818.(.(本小题满分本小题满分1212分分)方法一：(1)13BPCQ，1BPCQ，1BPNCQN.1BNC N，即点N为线段1BC的中点.过点N作NEBC于点E，则1NECC,且1122NECC，NEAM,且2NEAM，四边形AMNE为平行四边形，MNAE.又MN 平面ABCD，AE 平面ABCD,MN平面ABCD.6分(2)设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则 121223 4 416332B MPDB QPDD BMPBPMVVVVSDA .12分 方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(4，0，2)，P(4，4，3)，Q(0，4，1).A(4，0，0),B(4，4，0),C(0，4，0),0 4 0AB，-4 0 0BC，.13BPCQ，1BB1CC，点N为1BC的中点，则N(2，4，2)，12 4 02MNABBC，,MN与AB，BC共面，且MNABCD平面，MN平面ABCD.6分(2)D(0，0，0)，M(4，0，2)，P(4，4，3)，Q(0，4，1)，则=4 0 2DMQP（，），DMQP，且DMQP,四边形PQDM为平行四边形,N 高三数学试题答案 第 2 页（共 4 页）且2 5,17DMDQ.7分 4 0 2DM，0 4 1DQ，21cos2 51785DM DQMDQDMDQ，2 21sin85MDQ，2 21sin2 5174 2185DMPQSDMDQMDQ.设 nx y z，为平面DMPQ的法向量，则42040.xzyz，令1y，则2x，4z ，即2 1 4n，点B到平面DMPQ的距离为124 21721nDBn，四棱锥BDMPQ的体积为14 214 211637.12分 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分)(1)222220bca，即22222()bbca，222sincos244sinbcabBAbccC，4sincossinsincoscossinCABACAC，即tan3tanAC.当1tan3C 时，tan3tan1AC，又0A，4A.6分(2)由(1)知，tan3tanAC，02CA，2tantan2tan223tan11tantan31 3tan2 33tantanACCACACCCC，当且仅当13tantanCC，即当3tan3C，6C时，等号成立，tan A C的最大值为33，又02AC，A C的最大值为6，此时3A,2B.ABC为直角三角形.12分 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分)(1)由2xxyy 得2xxyy，代入222xy得2212xy，曲线E的方程为2212xy.4分(2)当直线l的斜率存在时，设l：1yk x.由22121xyyk x消去y整理得，22221 24220kxk xk.设11A xy，22B xy，则2122212241222.12kxxkkx xk，以AB为直径的圆的圆心横坐标为22212kk.高三数学试题答案 第 3 页（共 4 页）又222121212114ABkxxkxxx x 222222422141212kkkkk 222 2 112kk，以AB为直径的圆的半径为222 112kRk，圆心到直线2x 的距离为222222221 21 2kkdkk，2222222212 12201 21 21 2kkkdRkkk，即dR，以AB为直径的圆与直线2x 相离.10分 当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为12，圆的方程是22112xy，该圆与直线2x 相离.综上可知，以AB为直径的圆与直线2x 相离.12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分)(1)137317124yCC，1117 6 571224yyy，1111272010 9 8yyy，110y.5分(2)6154iix，9x，62164iixx.61662211iiiiiiixxyyrxxyy61158 1616iiixxyy，618 15iiixxyy，1218 1515648niiiniixxyybxx.又6666222221111266256iiiiiiiiyyyyyyyy，解得22y.154122988aybx，10分 411588yx，当15x 时，4115153388y，可以估计，昼夜温差为15OC时，该校新增患感冒的学生数为33人.12分 22.(22.(本小题满分本小题满分1212分分)(1)222112222axxafxxxx，0 x.1分 当440a，即1a 时，0fx恒成立，此时，f x在0，上单调递减.2分 当4400aa，即01a时，由 0fx解得，11xa.由 0fx解得，1111axa；由 0fx解得，011xa 或11xa，高三数学试题答案 第 4 页（共 4 页）此时，f x在0 11 a，和11 a，上单调递减，在11 11aa，上单调递增.4分 当4400aa，即0a 时，由 0fx，解得11xa 或11xa(舍)，由 0fx，解得011xa；由 0fx，解得11xa，此时，f x在0 11 a，上单调递增，在11 a，上单调递减.6分(2)令 2ln2axg xf xaxax，则 g xfx.由(1)知，当1a 时，g x在0，上单调递减，g x在0，上至多有一个零点，不符合题意舍去.7分 a是整数，0 1a，.当0a 时，由(1)知 g x在0 11 a，上单调递增，在11 a，上单调递减，且当0 x 时，ln22axg xxax；当x 时，ln22axg xxax.若 g x在0，上有两个零点，则110ga.21111ln 11ln 111112 11aaagaaaaaaa，令11 at，则22att(2t).2ln31g tttt，则 22111231230ttttg ttttt，g t在2，上单调递增.又 2ln2 10g，3ln3 10g，存在唯一的02 3t，使得 00g t，当0tt时，0g t，此时20023 0att ，.若1a ，则12t ，2112ln 12123 121ln 1212g.令 1lnF xxx，则 F x在0，上单调递增，又 121212142ln2ln2lnlnln022Feee，12(2)0FF，当12t 时，()0g t.此时，1112a，1a .当1a 时，110ga成立，a的最大整数值为1.12分