2014年上海中学自主招生数学试题
2014 年上中自主招生试卷 2014 年上中自主招生试卷 一、填空题一、填空题 1. 已知 111 abab ,则 ba ab _。 2. 有_个实数x,可以使得120x为整数。 3. 如图,ABC中,ABAC,CDBF,BDCE,用含A的式子表示EDF, 应为EDF_。 4. 在直角坐标系中,抛物线 22 3 -(0) 4 yxmxmm与x轴交于A、B两点,若A、B 两点到原点的距离分别为OA、OB,且满足 112 3OBOA ,则m _。 5. 定圆A的半径为 72,动圆B的半径为r,72r且r是一个整数,动圆B保持内切于圆 A且沿着圆A的圆周滚动一圈, 若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点, 则r 共有_个可能的值。 6. 学生若干人租游船若干只,如果每船坐 4 人,就余下 20 人;如果每船坐 8 人,那么就 有一船不空也不满,则学生共有_人。 7. 对于各数互不相等的正数数组( 1 a, 2 a, n a)(n是不小于 2 的正整数),如果在ij 时有 ij aa,则称 i a与 j a是该数组的一个“逆序” 。例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2,1” , “4,3” , “4,1” , “3,1” ,其逆序数为 4,现若各数互不相同的正数数组( 1 a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a)的逆序数为 2,则( 6 a, 5 a, 4 a, 3 a, 2 a, 1 a)的逆序数是_。 F E D C B A 8. 若n为正整数,则使得关于x的不等式 1110 2119 n xn 有唯一的整数解的n的最大值 为_。 二、选择题二、选择题 9. 已知 2 -12xax能分解成两个整系数的一次因式的积,则符合条件的整数a的个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 10. 如图,D、E分别为ABC的底边所在直线上的两点,DBEC,过A作直线l, 作DMBA交l于M,作ENCA交l于N。设 ABM面积为 1 S,ACN面积为 2 S,则( ) 11. 设 1 p, 2 p, 1 q、 2 q为实数,则 1212 2()p pqq,若方程甲: 2 11 0xp xq, 乙: 2 22 0xp xq,则( ) A. 甲必有实根,乙也必有实根 B. 甲没有实根,乙也没有实根 C. 甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定 12. 设 2222 1231007 1352013 a , 2222 1231007 3572015 b , 则以下四个选项 中最接近ab的整数为( ) A. 252 B. 504 C. 1007 D . 2013 A. 1 S 2 S B. 1 S 2 =S C. 1 S 2 S l NM E D C B A 二、解答题二、解答题 13. 直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC(B、D位于AC的两侧),M、 N分别是AC、BD中点,且M、N不重合。 (1)线段MN与BD是否垂直?证明你的结论; (2)若30BAC,45CAD,4AC ,求MN的长。 14. 是否存在m个不全相等的正数 1 a, 2 a, m a(7m),使得它们能合部被摆放在一 个圆周上,每个数都等于其相邻两数的乘积?若存在,求出所有这样的m值;若不存在, 说明理由。 N M D C B A