概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考 答案
36页1、 1 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 习题习题 4.1 1 如果XX P n ,且YX P n 试证:PX = Y = 1 证:因 | X Y | = | (Xn X ) + (Xn Y )| | Xn X | + | Xn Y |,对任意的 0,有 + 2 | 2 |0 YXPXXPYXP nn , 又因XX P n ,且YX P n ,有0 2 |lim= + XXP n n ,0 2 |lim= + YXP n n , 则 P| X Y | = 0,取 k 1 =,有0 1 |= k YXP,即1 1 |= 0,有 + + 2 | 2 | )()(|0 YYPXXPYXYXP nnnn , 又因XX P n ,YY P n ,有0 2 |lim= + XXP n n ,0 2 |lim= + YYP n n , 故0| )()(|lim=+ + YXYXP nn n ,即YXYX P nn +; (2)因 | XnYn XY | = | (Xn X )Yn + X (Yn Y ) | | Xn X | | Yn | + | X | | Yn Y |,对
2、任意的 0,有 + 2 | 2 |0 YYXPYXXPXYYXP nnnnn , 对任意的 h 0,存在 M1 0,使得 4 | 1 h MXP 0,使得 8 | 2 h MYP 0,当 n N1时, 8 1| h YYP n 0,当 n N2时, 4) 1(2 | 2 h M XXP n maxN1, N2 时,有 2 244 1| ) 1(2 | 2 | 2 2 hhh MYP M XXPYXXP nnnn =+ 0,当 n N3时, 42 | 1 h M YYP n 0,当 n maxN1, N2, N3 时,有 h hh YYXPYXXPXYYXP nnnnn =+ 0,存在 M 0,使得 4 | h MXP 0,当 n N1时, 4 1| h XXP n 0,存在 0,当 | x y | 0,当 n N2时, 4 | h XXP n 0,当 n maxN1, N2 时,有 |1| )()(|0MXMXXXPXgXgP nnn +UU h hhh MXPMXPXXP nn =+ 0,有0 | |lim= + c aXP n n , 故0|lim= + cacXP n n ,即c
3、acX P n 5 试证:XX P n 的充要条件为:n + 时,有0 |1 | + XX XX E n n 3 证:以连续随机变量为例进行证明,设 Xn X 的密度函数为 p( y), 必要性:设XX P n ,对任意的 0,都有0|lim= + XXP n n , 对0 1 2 + ,存在 N 0,当 n N 时, + x 时,有 x + n 0,D (x + n) = 1,即1)(lim=+ + nxD n , 则 D (x + n) 的极限函数是常量函数 f (x) = 1,有 f () = 1 0, 故 D (x + n) 的极限函数不是分布函数; (2)若 x 0,有0 1 + n x,1 1 = + n xD,即1 1 lim= + + n xD n , 若 x 时,有0 1 0,当 x n 1 时,有0 1 n x,1 1 = n xD,即1 1 lim= + n xD n , 则 = + . 0, 1 ; 0, 0 1 lim x x n xD n 在 x = 0 处不是右连续, 故 n xD 1 的极限函数不是分布函数 7 设分布函数列 Fn (x) 弱收敛于连续的
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