电磁场与电磁波(第三版)课后答案第3章

1、第三章习题解答第三章习题解答 3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和q，试计算球 赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1 图所示)。 解解 由点电荷q和q共同产生的电通密度为334q RRRRD22 3 222 3 2()()4() () rzrzrzarzaq rzarzaeeee则球赤道平面上电通密度的通量0ddzz SSSDSD eAA22 3 222 3 2 0()2d4()()aqaarrrara22 1 201(1)0.293()2aqaqqra 3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为ar的球体原子模型，其球体内均匀分布 有总电荷量为Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量） ，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为0231 4r aZer rrDe，试证明之。解解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 124rZe rDe原子内电子云的电荷体密度为 333 434aaZeZe rr 电子云在原子内产生的电通量密度则为 322343 44rr arZe r rr Dee故原子内总的电通量密度为 12231

2、4r aZer rrDDDe3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3 0C m, 两圆柱面半径分别为 a和b，轴线相距为c)(abc，如题 3.3 图( )a所示。求空间各部分的电场。 解解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布，如题 3.3 图( )b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电 场的叠加。在br 区域中，由高斯定律0dSq ESAA ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 22 00 12 0022rbb rr rEe22 00 12 0022raa rr rEeqqa赤道平面题 3.1 图题 3. 3 图( )aabc0点P处总的电场为 221122 0()2ba rr rrEEE在br 且ar 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别 为22 0022rr r rEe2222 0022raa rr rEe点P处

3、总的电场为 2 0 222 0()2a r rEEEr在ar 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 2 00 3 0022rr r rEe2 00 3 0022rr r rEe点P处总的电场为 00 33 00()22 EEErrc3.4 半径为a的球中充满密度( ) r的体电荷，已知电位移分布为 32542()()rrArra DaAarar其中A为常数，试求电荷密度( ) r。解：由DA，有 2 21 d( )()drrr Drr DA故在ra区域 2322 0021 d( )()(54)drrrArrArrr在ra区域 54 2 0221 d()( )0daAarrrrr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为4()rr aEe，设球内介质为 真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为2 0021 d()dr ErrEA43 2 002441 d()6drrrrraa（2）球体内的总电

4、量Q为 3 22 004 0d64d4arQrraa 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为 2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 题 3. 3 图( )babc0abc0abc002224Q a3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb()ba，圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷。 （1）计算各处的电位移0D；（2）欲使rb区域内00D，则1和2应具有什么关系？解解 （1）由高斯定理0dSqDSAA ，当ra时，有 010D当arb时，有 02122rDa ，则 1 02ra rDe当br 时，有 0312222rDab ，则 12 03rab rDe（2）令 12 030rab rDe ，则得到 12b a 3.7 计算在电场强度xyyxEee的电场中把带电量为2C的点电荷从点1(2,1, 1)P移到点2(8,2, 1)P时电场所做的功：（1）沿曲线22xy；（2）沿连接该两 点的直线。解解 （1）ddddxy CCCWqq ExEyFlElAA2 221ddd(2)2dCq yxxyq yyyy2 2616d142

5、8 10( )qyyqJ （2）连接点1(2,1, 1)P到点2(8,2, 1)P直线方程为 28 12xx yy即 640xy故W 21ddd(64)(64)dCq yxxyq yyyy2 61(124)d1428 10( )qyyqJ 3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l。 （1）计算线电荷平分面 上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用 E核对。 解解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意 点P的电位为2 022 20d( ,0) 4L lLzr rz 2 22020ln()4L lLzrz 2L2LPzro0l题 3.8 图 22 0220(2)2ln4(2)2lrLLrLL 22 00(2)2ln2lrLL r （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为022 0dddcos 2l rrrzE rz Eee0 22 3 2 0d 2()l rr z rz e故长为L的线电荷在点P的电场为2 0 223 2 00dd2()L l rr z rz EEe2 02200

6、()2L l rz rrz e02204(2)l rL rrL e由 E求E，有22 002(2)ln2lLrL r E0222201 22(2)(2)l rr rLrLrL e02204(2)l rL rrL e3.9 已知无限长均匀线电荷l的电场02l rr Ee ，试用定义式( )dPrrrElA 求其电位函数。其中Pr为电位参考点。解解 000( )ddlnln222PP Prr rlllP r rrrrrrrrElA由于是无限长的线电荷，不能将Pr选为无穷远点。3.10 一点电荷q位于(,0,0)a，另一点电荷2q位于( ,0,0)a，求空间的零电位 面。解解 两个点电荷q和2q在空间产生的电位222222012( , , )4()()qqx y z xayzxayz 令( , , )0x y z，则有 222222120 ()()xayzxayz 即 2222224()()xayzxayz故得 222254()()33xayza由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a 为球心、4 3a 为半径的球面。3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2013( )()422

7、aaZerrrrr解解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZe rDe电子云在原子外产生的电通量密度则为 322243 44a rrrZe rr Dee所以原子外的电场为零。故原子内电位为23 0011( )d()d4aarrarrZerrD rrrr2013()422aaZer rrr3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2( )0( )()cosrraarA rrar（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解解 （1）由 E，可得到 ra时， 0 Era时， E22 ()cos ()cos raaA rA rrrrree2222(1)cos(1)sinraaAArree（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0002cosrr ar aA n Ee EAA3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20（1）sin()sin( )hzkxly e其中222hkl；（2）cos()sin()nrnAn圆柱坐标；（3）cos()nrn圆柱坐标；（4）cosr球坐标；（5）2cosr球坐标。解解 （1）在直角坐标系中 222 2 222xyz而 22 2 22sin()sin( )sin()sin( )hzhzkxly ekkxly exx 22 2 22sin()sin( )sin()sin( )hzhzkxly elkxly eyy 22 2 22sin()sin( )sin()sin( )hzhzkxly ehkxly ezz故 2222()sin()sin( )0hzklhkxly e （2）在圆柱坐标系中 22 2 2221()rrrrrz而 11()cos()sin()nrrrnAnrrrrrr22cos()sin()nn rnAn2 22 221cos()sin()nn rnAnr 2222cos()sin()0nrnAnzz故 20（3） 2211()cos()cos()nnrrrnn rnrrrrrr 2 22 221cos()nn rnr 2222cos(

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